数列ー群数列の攻略1

 

この記事では、数列の中でも特に苦手な人が多い「群数列」の解説を例題を通してしていきます。

群数列の問題を解くにあたって、最低限必要な知識は以下の記事でまとめているので、弱い部分があれば先にそちらをご覧下さい。

等差数列/等比数列の解説と漸化式の解き方

数列の和とΣ公式の使い方

群数列とは

群数列とは、一定の規則で並ぶ数列の中でも、それらを更に区切って群(カタマリ)に分けて考えるものを言います。

実例を示したほうが分かりやすいと思うので、一つ群数列を挙げてみます。

群数列(例1)

1、1、2、1、2、3、1、2、3、4、1、2、3、4、5、・・・

さて、上の数列を群に分けられますか?よく見ると、(群は/スラッシュで区切る事にします。)

1/1、2/1、2、3/1、2、3、4、/1、2、3、4、5/・・・

という風にこの数列は第1群は1個、第2群は2個、・・・と個数(項数)と群の番号が一致しています。

群の番号(=群ごとの項数)

更に、各群は項数がその群の数字と等しく、

初項1、公差が1の等差数列になっている事がわかります。(=群の中での規則)

point!:各群の項数と群の中での規則を把握せよ

群数列を解くためのポイントを、早速例題を通して解説していきます!

上の数列(群数列の例1)において、

例題1:第100項目の数字を求めよ。

例題2:4回目に3が現れるのは第何項か。

 

<考え方と解答>

例題1

先にこの群数列の各群の項数を求めておくと、先程数えた様に、第1群は1項、第2群は2項・・・と、第n群はn項あることがわかります。

つまり、第n群の最終項まで全て項数を足し合わせると、《1+2+・・・+n》より、

$$全部で\sum ^{n}_{k=1}k=\frac {n\left( n+1\right) }{2}項ある事がわかりました。$$

さて、第100項目の数字を求めるにはまず第何群に属しているかわかる必要があります。

ここで今計算した式が早速役に立ちます。

第100項目が第何群なのか、またその群で最終項なのか、群の中にあるのか、はわからないですが、

nに適当な数字を入れて実験してみる事で◯群の最後の項と◯+1群の最後の項に挟まれている事は分かります。

<参考記事:「公式や解法が思い付かない時の最終手段『実験してみる』を解説!

?が浮かんだ人の為に実際にやってみます。

今、第n項の最終項までの項数がn(n+1)/2だったので、nに10を代入すると10(11)/2=55。

まだ100項目には遠いですね。

n=15を代入すると、15(16)/2=120

今度は100項目を通り過ぎてしまいました。

どんどん実験していきます。

n=14を代入、14(15)/2=105

n=13を代入、13(14)/2=91

これで第13郡の最終項までで91項あり、第14群の最終項までで105項あることがわかったので、第100項目は第14群に属することがわかります。

次に、92項目が第14群【初項1、公差1、項数14】の数列の初項なので、

第100項目の数字は、100-92+1=9である事がわかります。

従って、(解答1):9

 

次に例題2:4回目に3が出る時の項数の数を求めていきます。

 

考え方は、この群数列で3が現れるのは第3群以降であることから、4回目の3は第6群中にあると分かります。

(第7群ではありません!注意!)

従って、とりあえず第五群の最終項までの項数の和を計算すると、

$$\sum ^{5}_{k=1}k=\frac {5\left( 6\right) }{2}=15$$

第6群の3番目に3が出てくるので、15+3=18

よって18項目//

 

群数列の解法3stepまとめと次回予告

以上の様にして

・「群に分ける」

・「n群の項数とそれまでの項数の総和を式で表す」

・「群の中の規則を見つける」

ことに気をつけておくと、大抵の群数列の問題に対処出来ます。

次回は、もう少し発展的な群数列を扱います。

今回もご覧いただき有難うございました。

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良ければ数列の漸化式解き方の記事もご覧ください↓

お勧め記事:数列の漸化式が苦手な人へ「数列の漸化式の解き方全パターンまとめ

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