極形式に変換して点を自由に回転伸縮させよう!

前回の「複素数平面とは?」の続編として、この記事では複素数を直交形式から極形式に変換し、

その掛け算・割り算が複素数平面で回転・拡大/縮小する理由を解説していきます。

極形式と回転

・まずは極形式に変換せよ!

・極形式同士の積の計算法とその証明

・複素数平面上での意味

・極形式同士の商の計算法とその証明

・複素数平面上での意味(割り算編)

 

前回に引き続き複素数平面の最大の「ウリ」である回転・伸縮について解説していきます。

前回の記事は→「複素数平面の直交形式/座標と極形式/極座標がわかる」

まずは直交形式を極形式に変換せよ!

これまでの直交形式では、これから説明する方法で点を動かせないのでまずは極形式に変えていきます、

方法は、三角関数の合成とよく似ています。→三角関数の合成と加法定理

今回は、図を書いて極形式に変換する方法をとります。

<図1>を見ながら手順を追っていきます。

 

極形式への変換

図1

手順1:Z=a+biのaを複素数平面の軸上にかく

手順2:bを同様に軸上にかく

手順3:三平方の定理より、絶対値を求めてそれを極形式のrとする

手順4:実軸からの反時計回りの角度=偏角argθを極形式のθに代入する。

極形式:Z=r(cosθ+isinθ)

 

$$z_{1}=r_{1}( \cos θ_{1}+i\sin θ_{1}) $$

$$z_{2}=r_{2}(\cos θ_{2}+i\sin θ_{2}) $$

極形式にした複素数同士の積

z1とz2を掛けると

$$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos θ_{1}+i\sin θ_{1})( \cos θ_{2}+i\sin θ_{2}) $$となり、これを整理して

$$r_{1}r_{2}\{ ( \cos θ_{1}\cos θ_{2}-\sin θ_{1}\sin θ_{2})+i(\sin θ_{1}\cos θ_{2}+\cos θ_{1}\sin θ_{2})\} $$

ここで、中括弧のなかを加法定理を用いて変形すると

$$r_{1}r_{2}\{ cos( θ_{1}+θ_{2}) +i\sin (θ_{1}+θ_{2})\} $$

複素数平面上での意味

「大きさは掛け算、偏角は足し算」

では、上で計算した複素数どうしの積はどんな意味があるのでしょうか。

$$r_{1}r_{2}\{ cos(θ_{1}+θ_{2}) +i\sin ( θ_{1}+θ_{2})\} $$

の式をよくみると、絶対値は掛け算(r1・r2)偏角argθの部分は足し算になっています。

これを複素数平面上に表すと<図2>の様になります。

複素数の積1

<図2:複素数平面でのかけ算>

これは、かけた極形式の分(r2)だけ絶対値が大きくなり、偏角argθ2の分だけ反時計回りに回転させた事を意味します。

逆に言えば、ある複素数平面上の点Zを”r倍”して”θ分回転”させたければ、

それに対応する複素数の極形式をかければ良い事が分かります。

極形式にした複素数同士の商

次に、極形式での複素数の割り算の意味を見ていきます。

$$\frac {Z_{1}}{Z_{2}}=\frac {r_{1}}{r_{2}}\times \frac {\cos θ _{1}+i\sin θ_{1}}{cosθ _{2}+i\sin θ_{2}}$$

分母分子に(cos θ2ーisin θ2) をかけて

$$\frac {r_{1}}{r_{2}}\frac {( cosθ_{1}+isinθ_{1}) ( \cos θ_{2}-i\sinθ_{2}) }{( \cos θ_{2}+i\sin θ _{2}) ( \cos θ _{2}-i\sin θ_{2}) }これを展開して$$

$$\frac {r_{1}}{r_{2}}\frac {( cosθ _{1}\cos θ_{2}+\sin θ _{1}\sin θ_{2}) +i(\sin θ_{1}\cos θ_{2}-\cos θ_{1}\sin θ_{2}) }{( cos^{2}θ _{2}+\sin ^{2}θ_{2})}$$

更に加法定理を分子に用いて

$$\frac {r_{1}}{r_{2}}\frac {cos( \theta _{1}-\theta _{2}) +i\sin (θ_{1}-θ_{2}) }{( cos^{2}\theta _{2}+\sin ^{2}\theta _{2}) }$$

$$\sin ^{2}θ_{2}+\cos ^{2}θ_{2}=1より分母は1$$

(参考:「三角比・三角関数の相互関係と公式」)

したがって$$\frac {z_{1}}{z_{2}}=\frac {r_{1}}{r_{2}}\{ \cos( θ_{1}-θ _{2}) +i\sin ( θ _{1}-θ_{2})\} $$

複素数平面上での意味(割り算編)

「大きさは割り算、偏角は引き算」

複素数平面上での積の意味と同様に、極形式同士の割り算をすると、

<図3>のようにその分絶対値が小さくなり、

偏角argθが小さく(時計回りに回転)する事が分かりました。

複素数の商1

<図3:複素数平面での割り算>

お疲れ様でした。

今回も最後まで読んで頂きまして有難うございます!

次回は、この複素数の積/商の性質を使って自由自在に点を動かせるようにし、

図形問題への応用へつなげていきます。(2019/01/08現在作成中です・・)

 

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