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最重要公式!加法定理の証明と「教科書だけで東大」のイミ

 

〜加法定理の証明と東大からのメッセージ〜

今日は三角関数において最も重要な加法定理の証明を解説します。

 

三角関数の公式で覚えておくのは1種類だけ!公式暗記から導き方へ〜でも書きましたが、

少なくとも高校範囲の三角関数公式はぼ全て加法定理から導けるので、

暗記の必要はありません(もっとも何度も使っているうちに自然と覚えてしまいますが、、)

具体的に加法定理からは、

二倍角の公式、

三倍角の公式、

半角公式、

和積・積和の公式

三角関数のsin型、cos型の合成、他が導けます。

では、その元々の加法定理はどうやって導くのでしょうか?

難関大はこのような基本中の基本を聞いてきます。

むしろ大学のレベルが上がるにつれて、公式の証明問題や普段使っている定義の証明or評価

を聞いてくる傾向が強いです。

実際に加法定理の証明をせよ、という問題が東京大学1999年前期で出題されています!

 

また最近では、lim(x→0)sinx/x=1  の証明問題が阪大で出題されました。

普段何気なく使っているうちに、それを使って難問ができるようになったと思っても

本当に基礎を理解して使っているのか?上辺だけの解法暗記ではないか?

と問われるのです。

 

では加法定理を証明していきましょう。

もちろん何通りも証明方法はありますが、最も一般的な証明を載せます。

使うのは単位円、距離の公式、余弦定理そして還元公式です。

還元公式については2stepで攻略暗記不要の還元公式まとめで纏めているのであやふやな人はチェックしておいて下さい。

手順は<図1>の通りです

 

座標平面上に単位円を置き、単位円上の2点の座標をcosとsinで表わします。

次にその2点間の距離を三平方の定理を使って求め、同時に単位円上にあることから、二辺=半径1を利用して余弦定理で2点間距離を求めます。

二つの式(距離)の値は同じですから、=で結んで整理すれば加法定理のうち一つが証明できます。

加法定理の証明1

<図1>

 

次に図1で示したcos(β-α)をcos(β+α)型とsin型に変形します。

ここでは還元公式の考え方を利用します。

つまり、(βーα)のαを(ーα)や、{π/2ー(β+α)} 等に変えて計算します<図2>参照

 

加法定理の証明2

<図2>

 

最後にtan型は、(sin/cos)=tanより導出します。

 

いかがでしたか。いずれも教科書に載っているレベルですが、実際入試、それも東大数学で問われた時戸惑った受験生は多かったのです。

更にこれが大問1であったので、ここで焦ってしまった受験生は残りの大問に尾を引き、結果合否に影響したことは想像に難くありません。

 

毎年、東大入試の問題は他の大学や高校、塾など幅広くに示唆を与える(=メッセージ)事が多いです。

非常に教育的な良問が揃っています。

難関大を目指している人こそ諸公式は全て証明できる様にしておいて下さい

「教科書だけで東大に合格した」という人がたまにいますが、あながち嘘では無いでしょう。

教科書を深く考察する事で、本質が理解しやすくなり、あとは過去問のみやればある程度のセンスがあれば可能と思われます。

ただ一般的には「センス」の代わりに参考書や問題集を挟みますが。

タイトルの教科書だけで〜のイミが伝わったでしょうか。

成績が良い人ほど、早くからこの意味を理解しています。

 

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