斜方投射・放物運動と軌道の式

 

前回の記事:「等加速度運動と鉛直投げ上げ」に引き続いて、その応用である斜方投射の解説をしていきます。

斜方投射と放物運動の軌道の式

・斜方投射を見たら分解せよ

・斜方投射の例題1

・例題1の解説

・速度を分解する

・放物運動の特徴を利用する

・斜方投射された球の軌道の式

・軌道の式をどう使うか?

・まとめ

 

斜方投射を見たら分解せよ

そもそも斜方投射とは<図1>の様に、地面から仰角θで一定の初速度V0で投げ上げる運動をさします。

斜方投射において問われるものは大体決まっていて、最高点の高さhmax、その時の時間tmax、地上に戻ってくる時の時間とその座標(投射位置からの水平距離)に主に集約されます。

発射される向きはナナメですが、ベクトルの分解の要領で「先に軸を定めてから」三角比をつかって鉛直投げ上げ運動と等速直線運動に帰着させれば、決して難しい問題ではありません。

斜方投射の例題1

(例題1)今、<図1>の原点の位置から仰角θ、初速度V0(m/s)で球を投射する。

$$重力加速度をg\left( m/s^{2}\right) として$$

$$球の最高点h_{\max }\left( m\right) とその時刻t_{\max }\left( s\right) 、$$

$$及び球が再び地上に落下した場所の位置X(m)$$

$$と時刻T(s)を求めよ。$$

$$但し空気抵抗は無視できるものとする。$$

斜方投射

<図1>

例題1の解答解説

<方針>軸の設定と初速度の分解

力学は「軸の設定が全て」と言っても過言でないほど大切です。

今回の問題では<図1>の鉛直上向きを正としたy軸と水平方向右向きを正としたx軸に設定することにします。

軸の設定を終えたら、初速度を鉛直方向(y軸方向)と水平方向(x軸方向)に分解していきます。

そして、この運動においてはy軸マイナス方向に重力加速度gがかかっているので、この斜方投射の運動は、「鉛直方向」には加速度ーg(m/s ^2)の等加速度運動、「水平方向」には何の加速度もかかっていないので、等速運動に分解して考えていきます。

速度を分解する

<方針>取りあえずVxとVyを計算すると、等加速度運動の3式より、

$$v_{x}=V_{0}\cos \theta $$

$$v_{y}=V_{0}\sin \theta -gt$$

最高点を一瞬で出すtechnicより、最高点h maxとその時刻tmaxの求め方を紹介しましたが、こちらもそのまま利用可能です。

$$h_{\max }\left( m\right) =\frac {\left( v_{0}\sin \theta \right) ^{2}}{2g}$$

$$t\max \left( s\right) =\frac {v_{0}\sin \theta }{g}$$

(ただし式の初速の部分が分解されているので、そこだけが変わっています)

例題1の球は次の項で示しますが、放物線を描いて運動します。

放物運動の特徴を利用する

そして最高点の水平位置を軸として、対称に落下していくので、まず球が最高点にいる時のx座標(xmax)を求めます。

その2倍の距離の地点Xに落下するので、落下時刻Tも同様にtmaxの2倍で求めることができます。

$$T=\frac {2v_{0}\sin \theta }{g}よってTが求まりました$$

$$次に落下地点のx座標X=v_{0}\cos \theta \times 2t_{\max }$$

$$X=v_{0}\cos \theta \times 2\times \frac {v_{0}\sin \theta }{g}$$

$$X=\frac {2v^{2}_{0}\sin \theta \cos \theta }{g}以上でXも求まりました。$$

斜方投射された球の軌道の式

次に、斜方投射の軌道の式について学びます。

今、球のx座標とy座標は次のように求められます。

$$x=v_{0}\cos \theta t$$

$$y=v_{0}\sin \theta t-\frac {g}{2}t^{2}$$

 

媒介変数のtを消していくと次のような式が出来上がります。

$$x=v_{0}\cos \theta t\Leftrightarrow t=\frac {x}{v_{0}\cos \theta }$$

$$y=v_{0}\sin \theta \times \left( \frac {x}{v_{0}\cos \theta }\right) -\frac {g}{2}\times \left( \frac {x}{v_{0}\cos \theta }\right) ^{2}$$

$$y=\frac {v_{0}\sin \theta }{v_{0}cos\theta }\left( x\right) -\frac {g}{2}\left( \frac {x}{v_{0}\cos \theta }\right) ^{2}$$

$$y=\tan \theta \left( x\right) -\frac {g}{2v^{2}_{0}\cos ^{2}\theta }\left( x\right) ^{2}$$

$$y=-\left( \frac {g}{2u^{2}_{0}\cos ^{2}\theta }\right) x^{2}+\left( \tan \theta \right) x$$

これは、正に二次関数を表しています。従って、球の軌道は上に凸な放物線を描くことが式からも確認できました。

軌道の式をどう使うか

さて、この一見ややこしい式はどの様に役に立つのでしょうか。

一つの例としてy=0、xで右辺をくくるとy座標が0の時。即ち投射時のx座標と落下地点のx座標を求める事が出来ます。

その他にも、頂点の座標や任意のx座標でのy座標など色々な問題に応用できます。

まとめ

次回は斜方投射の総仕上げとなるモンキーハンティングの解説を行います。軌道の式も活躍するので、よく復習しておいて下さい!

今回も最後までご覧頂きありがとうございます。

現在、解説して欲しい単元を募集中です!(数学/物理/化学/地理/公民)是非コメント欄までリクエストお願いします!

お疲れ様でした。