斜方投射・放物運動と軌道の式

前回の記事:「等加速度運動と鉛直投げ上げ」に引き続いて、

その応用である斜方投射の解説をしていきます。

斜方投射と放物運動の軌道の式

・斜方投射を見たら分解せよ

・斜方投射の例題1

・例題1の解説

・速度を分解する

・放物運動の特徴を利用する

・斜方投射された球の軌道の式

・軌道の式をどう使うか?

・まとめ

 

斜方投射を見たら分解せよ

そもそも斜方投射とは以下の<図1>の様に、地面から仰角θ、一定の初速度V0で投げ上げる運動をさします。

斜方投射で問われるものは大体決まっており、以下の4点に主に集約されます。

・最高点の高さhmax、

・その時の時間tmax、

・地上に戻ってくる時の時間と、

・その座標(投射位置からの水平距離)

 

発射される向きはナナメですが、ベクトルの分解の要領<参照:「物理基礎でつまずかない為のベクトルと三角比」>で、「先に軸を定めてから」三角比をつかって「鉛直投げ上げ運動」と「等速直線運動」に分解させれば、決して難しい問題ではありません。

斜方投射の例題1

(例題1)今、<図1>の原点の位置から仰角θ、初速度V0(m/s)で球を投射する。

重力加速度をg( m/s2) として、

球の最高点hmax(m) とその時刻tmax(s) 、

及び球が再び地上に落下した場所の位置X(m)と時刻T(s)を求めよ。

但し空気抵抗は無視できるものとする。

斜方投射、仰角θ、初速度v0の図

<図1:斜方投射(例題1)の図>

例題1の解答解説

<方針>軸の設定と初速度の分解

力学は「軸の設定が全て」と言っても過言でないほど大切です。

今回の問題では<図1>の“鉛直上向きを正としたy軸”と“水平方向右向きを正としたx軸”に設定することにします。

軸の設定を終えたら、初速度を鉛直方向(y軸方向)と水平方向(x軸方向)に分解していきます。

そしてこの運動においては、

y軸マイナス方向に重力加速度gがかかっているので、この斜方投射の運動は、

・「鉛直方向」には加速度ーg(m/s2)の等加速度運動

・「水平方向」には何の加速度もかかっていないので、等速運動に分解して考えていきます。

速度を分解する

<方針>取りあえずVxとVyを計算すると、等加速度運動の3式より、

$$v_{x}=V_{0}\cosθ $$

$$v_{y}=V_{0}\sinθ -gt$$

最高点を一瞬で出すtechnicより、最高点h maxとその時刻tmaxの求め方を紹介しましたが、こちらもそのまま利用可能です。

$$h_{\max }(m) =\frac {( v_{0}\sinθ) ^{2}}{2g}$$

$$t\max (s) =\frac {v_{0}\sinθ }{g}$$

(ただし式の初速の部分が分解されているので、そこだけが変わっています)

例題1の球はつぎの項で示しますが、放物線を描いて運動します。

放物運動の特徴を利用する

そして最高点の水平位置を軸として、対称に落下していくので、

まず球が最高点にいるときのx座標(xmax)を求めます。

その2倍の距離の地点Xに落下するので、落下時刻Tも同様にtmaxの2倍で求めることができます。

$$T=\frac {2v_{0}\sinθ}{g}よってTが求まりました$$

$$次に落下地点のx座標X=v_{0}\cosθ× 2t_{\max }$$

$$X=v_{0}\cosθ×2× \frac {v_{0}\sinθ }{g}$$

$$X=\frac {2v^{2}_{0}\sinθ \cosθ }{g}以上でXも求まりました。$$

斜方投射された球の軌道の式

次に、斜方投射の軌道の式について学びます。

今、球のx座標とy座標は次のように求められます。

$$x=v_{0}\cos \theta t$$

$$y=v_{0}\sin \theta t-\frac {g}{2}t^{2}$$

媒介変数のtを消していくと次のような式が出来上がります。

$$x=v_{0}\cosθ t⇔ t=\frac {x}{v_{0}\cos \theta }$$

$$y=v_{0}\sin \theta ×( \frac {x}{v_{0}\cos \theta }) -\frac {g}{2}×( \frac {x}{v_{0}\cos \theta }) ^{2}$$

$$y=\frac {v_{0}\sin \theta }{v_{0}cosθ }( x) -\frac {g}{2}( \frac {x}{v_{0}\cosθ })^{2}$$

$$y=\tan \theta (x) -\frac {g}{2v^{2}_{0}\cos ^{2}\theta }(x) ^{2}$$

$$y=-( \frac {g}{2u^{2}_{0}\cos ^{2}θ}) x^{2}+( \tan θ) x$$

これは、まさに二次関数を表しています。

従って、球の軌道は上に凸な放物線を描くことが式からも確認できました。

軌道の式をどう使うか

さて、この一見ややこしい式はどの様に役に立つのでしょうか。

一つの例としてy=0、xで右辺をくくるとy座標が0の時。

すなわち投射時のx座標と落下地点のx座標を求めることが出来ます。

その他にも、頂点の座標や任意のx座標でのy座標を求めることなど、色々な問題に応用できます。

まとめ

次回は斜方投射の総仕上げとなるモンキーハンティングの解説を行います。

軌道の式も活躍するので、よく復習しておいて下さい!

今回も最後までご覧頂きありがとうございます。

現在、解説して欲しい単元を募集中です!(数学/物理/化学/地理/公民)是非コメント欄までリクエストお願いします!

お疲れ様でした。

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