等加速度運動の3公式と投げ上げ運動

 

今回は、鉛直投げ上げ運動をマスターする事を目的に、まず「等加速度運動」とその「重要な3公式」の解説を行い、鉛直投げ上げ運動を取り上げます。

等加速度運動と鉛直投げ上げ運動

・等加速度運動とは?

・等速運動との違い

・等加速度運動の3公式の導出と図形で見る意味

・等加速度運動の練習問題

・鉛直投げ上げ運動と等加速度運動

・最高点の位置と時間を3秒で出せる小技

等加速度運動とは?

読んで字のごとく、「加速度の大きさが常に同じ運動」の事です。

等速運動との違い

等加速度運動は常に一定の加速度で(加速していく/減速していく)運動なのに対して、等速運動は速さが常に等しく運動するものの事です。(=つまり加速度0)

等加速度運動の3公式を図形で導出する

等加速度運動で非常に頻繁に使用する3つの公式があります。

一見ややこしそうですが、図形を使って導く方法を説明するので、理屈と共に導き方を覚えておいて下さい。

そうすれば、ただの公式暗記をせずにすみます。

\(aを加速度(m/s^{2})、vを速度(m/s)、xを変位(m)、tを時間(s)として(但しv_{0}は初速度)\)

(1)X=v0t+(at ^2)/2

$$x=v_{0}t+\frac {1}{2}at^{2}$$

(2)V=v0+at

$$v=v_{0}+at$$

(3)V^2–V0^2=2ax

$$V^{2}-V^{2}_{0}=2ax$$

(1)の公式の意味:
t秒後の変位xは、\((初速度)v_{0}×t+(加速度)a×1/2×t ^{2}\)で表すことができ、

<図1のVーTグラフ>の斜線の部分の面積(時間×速さ)と同じである事を示しています。

(2)の公式の意味は、\(t秒後の速度Vは初速度v0+加速度a×t\)と表せ、<図1>のグラフ右端の高さと等しいです。(速度が時間当たりにどれだけ変化するか=加速度a=VーTグラフの傾き)

等加速度の3公式の図解

<図1>

(3)の公式の意味は、(2)の公式を変形して、(1)に代入する事で得られます。

$$\frac {v-v_{0}}{a}=t$$

$$x=v_{0}\left( \frac {v-v_{0}}{a}\right) +\frac {a}{2}\times \left( \frac {v-v_{0}}{a}\right) \times \left( \frac {v-v_{0}}{a}\right) $$

$$x=\frac {vv_{0}-v^{2}_{0}}{a}+\frac {v^{2}-2vv_{0}+v^{2}_{0}}{2a}$$

$$2ax=v^{2}-v^{2}_{0}$$

等加速度運動の練習問題

摩擦のない床上を物体Aが原点Oをt= 0(s)で

x軸正方向に初速度V0=15(m/s)、

加速度a=ー5(m/s ^2)で通過した。

(1)原点から正方向に最も離れた時間Tとその時の位置Xを求めよ。

(2)速度が10(m/s)になる位置X‘を求めよ。

解答解説

(1)「原点から最も離れた」とあるので、この時正方向の速さは 0です。

従って、\(v=v_{0}+at\)より

0=15+(-5t)    t=3(s)//

位置Xは、$$x=v_{0}t+\frac {1}{2}at^{2}$$

より、X=15・3+(1/2)(-5)(3^2)

X=22.5(m)//

(2)「速度」が10(m/s)なので、

\(V^{2}-V^{2}_{0}=2ax\)より、

\(10^{2}ー15^{2}=2(-5)X’\)

X‘=12.5(m)//

鉛直投げ上げ運動への応用

ここでは、「投げ上げ運動」と呼ばれる運動について解説します。

(鉛直)投げ上げ運動とは真上に、ある初速度で物体を投げたときの物体の運動を言います。

これまでは、水平方向の等加速度運動を扱ってきましたが、投げ上げ運動でも重力加速度g≒9.8(m/s ^2)が物体にかかるので、これも一種の等加速度運動と言えます。

従って、等加速度運動の3公式も加速度aの部分を重力加速度gに、変位xを高さhに置き換えるだけで同じ様に使えます。

ここでは、鉛直上向きを正として公式を書いておきます。

gを重力加速度(m/s^2)、vを速度(m/s)、hを高さ=変位(m)として

(1)’h=v0t+(ーgt ^2)/2

$$h=v_{0}t-\frac {1}{2}gt^{2}$$

(2)’V=v0ーgt

\(v=v_{0}-gt\)

(3)’V^2–V0^2=2(-g)h

\(v^{2}-v^{2}_{0}=-2gh\)

ここでは重力加速度は軸と反対向きにかかるので、ーgと負の符合が付いていることに注意して下さい。

最高点の高さとその時の時間を3秒で出す小技

鉛直投げ上げ運動の他にも斜方投射など、物体の最高点の位置とその時の時間を問われる事が度々あります。

そんな時に知っておくと楽なワザを紹介します!

初速度をv0 、重力加速度をg、最高点をh max、その時の時間をt maxと置くと

h max=v0 ^2/2g

$$h_{\max }=\frac {v^{2}_{0}}{2g}$$

t max= v 0/g

$$t_{\max }=\frac {v_{0}}{g}$$

となります。もちろんこの2式は等加速度運動の3公式から導出出来ます。

「最高点にいる=鉛直上向きの速度が0」と、

\(v^{2}-v^{2}_{0}=-2gh\)より、\(v^{2}=0\)を代入して整理すると、$$v^{2}_{0}=2gt,t=\frac {v^{2}_{0}}{2g}$$v 0 ^2=2gh

(∴)$$h_{\max }=\frac {v^{2}_{0}}{2g}$$

「V=V 0ーgt」

のV= 0だから、同様に、gt=V 0

(∴)$$t_{\max }=\frac {v_{0}}{g}$$

導出法と共に頭に入れておくと便利です。

 

引き続き、斜方投射・放物運動と軌道の式の解説記事をご覧ください。→斜方投射の解説と例題

今回も最後までご覧いただき有難うございました。

質問・記事について・誤植・その他のお問い合わせはコメント欄までお願い致します!

Twitterでフォローしよう