等加速度運動の3公式と投げ上げ運動

 

今回は、鉛直投げ上げ運動をマスターする事を目的に、まず「等加速度運動」とその「重要な3公式」の解説を行い、鉛直投げ上げ運動を取り上げます。

等加速度運動と鉛直投げ上げ運動

・等加速度運動とは?

・等速運動との違い

・等加速度運動の3公式の導出と図形で見る意味

・等加速度運動の練習問題

・鉛直投げ上げ運動と等加速度運動

・最高点の位置と時間を3秒で出せる小技

・等加速度運動とは?

読んで字のごとく、「加速度の大きさが常に同じ運動」の事です。

・等速運動との違い

等加速度運動は常に一定の加速度で加速していく/減速していく運動なのに対して、等速運動は速さが常に等しく運動するものの事です。(=つまり加速度0)

・等加速度運動の3公式を図形で導出する

等加速度運動で非常に頻繁に使用する3つの公式があります。一見ややこしそうですが、図形を使って導く方法を説明するので、理屈と共に導き方を覚えておいて下さい。そうすれば、ただの公式暗記をせずにすみます。

aを加速度(m/s^2)、vを速度(m/s)、xを変位(m)、tを時間(s)として(但しv0は初速度)

(1)X=v0t+(at ^2)/2

$$x=v_{0}t+\frac {1}{2}at^{2}$$

(2)V=v0+at

$$v=v_{0}+at$$

(3)V^2–V0^2=2ax

$$V^{2}-V^{2}_{0}=2ax$$

(1)の公式の意味:
t秒後の変位xは、初速度v0×t+加速度a×1/2×t ^2で表すことができ、<図1のVーTグラフ>の斜線の部分の面積(時間×速さ)と同じである事を示しています。

(2)の公式の意味は、t秒後の速度Vは初速度v0+加速度a×tと表せ、<図1>のグラフ右端の高さと等しいです。(速度が時間当たりにどれだけ変化するか=加速度a=VーTグラフの傾き)

等加速度運動

<図1>

(3)の公式の意味は、(2)の公式を変形して、(1)に代入する事で得られます。

$$\frac {v-v_{0}}{a}=t$$

$$x=v_{0}\left( \frac {v-v_{0}}{a}\right) +\frac {a}{2}\times \left( \frac {v-v_{0}}{a}\right) \times \left( \frac {v-v_{0}}{a}\right) $$

$$x=\frac {vv_{0}-v^{2}_{0}}{a}+\frac {v^{2}-2vv_{0}+v^{2}_{0}}{2a}$$

$$2ax=v^{2}-v^{2}_{0}$$

・等加速度運動の練習問題

摩擦のない床上を物体Aが原点Oをt= 0(s)で

x軸正方向に初速度V0=15(m/s)、

加速度a=ー5(m/s ^2)で通過した。

(1)原点から正方向に最も離れた時間Tとその時の位置Xを求めよ。

(2)速度が10(m/s)になる位置X‘を求めよ。

 

解答解説

(1)「原点から最も離れた」とあるので、この時正方向の速さは 0です。

従って、$$v=v_{0}+at$$より

0=15+(-5t)    t=3(s)//

位置Xは、$$x=v_{0}t+\frac {1}{2}at^{2}$$

より、X=15・3+(1/2)(-5)(3^2)

X=22.5(m)//

(2)「速度」が10(m/s)なので、

$$V^{2}-V^{2}_{0}=2ax$$より、

10 ^2ー15 ^2=2(-5)X’

X‘=12.5(m)//

鉛直投げ上げ運動への応用

ここでは、「投げ上げ運動」と呼ばれる運動について解説します。

(鉛直)投げ上げ運動とは真上に、ある初速度で物体を投げたときの物体の運動を言います。

これまでは、水平方向の等加速度運動を扱ってきましたが、投げ上げ運動でも重力加速g≒9.8(m/s ^2)が物体にかかるので、これも一種の等加速度運動と言えます。

従って、等加速度運動の3公式も加速度aの部分を重力加速度gに、変位xを高さhに置き換えるだけで同じ様に使えます。ここでは、鉛直上向きを正として公式を書いておきます。

gを重力加速度(m/s^2)、vを速度(m/s)、hを高さ=変位(m)として

(1)’h=v0t+(ーgt ^2)/2

$$h=v_{0}t-\frac {1}{2}gt^{2}$$

(2)’V=v0ーgt

$$v=v_{0}-gt$$

(3)’V^2–V0^2=2(-g)h

$$v^{2}-v^{2}_{0}=-2gh$$

ここでは重力加速度は軸と反対向きにかかるので、ーgと負の符合が付いていることに注意して下さい。

・最高点の高さとその時の時間を3秒で出す小技

鉛直投げ上げ運動の他にも斜方投射、など物体の最高点の位置とその時の時間を問われる事が度々あります。

そんな時に知っておくと楽なワザを紹介します!

初速度をv0 、重力加速度をg、最高点をh max、その時の時間をt maxと置くと

h max=v0 ^2/2g

$$h_{\max }=\frac {v^{2}_{0}}{2g}$$

t max= v 0/g

$$t_{\max }=\frac {v_{0}}{g}$$

となります。勿論この2式は等加速度運動の3公式から導出出来ます。

「最高点にいる=鉛直上向きの速度が0」と、

$$v^{2}-v^{2}_{0}=-2gh$$より、$$v ^2= 0を代入して整理すると$$、$$v^{2}_{0}=2gt,t=\frac {v^{2}_{0}}{2g}$$v 0 ^2=2gh

(∴)$$h_{\max }=\frac {v^{2}_{0}}{2g}$$

「V=V 0ーgt」

のV= 0だから、同様に、gt=V 0

(∴)$$t_{\max }=\frac {v_{0}}{g}$$

導出法と共に頭に入れて置くと便利です。

 

引き続き、斜方投射・放物運動と軌道の式の解説記事をご覧ください。→斜方投射の解説と例題

今回も最後ご覧いただき有難うございました。質問・記事について・誤植・その他のお問い合わせはコメント欄までお願い致します!

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