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An+1=pAn+q型の漸化式の解法:等比数列型に帰着させる!

漸化式の解法(2):等比数列帰着型

 

前回の記事はこちら→(1)等差/等比/階差数列の漸化式の解き方

目次

・はじめに

・漸化式の解き方の流れ

・(anーα)のαを求める

・等比数列型へ帰着させて解く

・まとめ

・はじめに

今回のメインとなる漸化式は、前回の等差数列と等比数列を合わせたような式をしています。

等差数列の漸化式:An+1=An+d
等比数列の漸化式:An+1=rAn
今回の漸化式:An+1=pAn+q

 

具体例を挙げてみると、$$a_{1}=8,a_{n+1}=2a_{n}+4$$

の様になっています。

An+1= pAn+qのタイプの漸化式の解法の流れ

このタイプの漸化式の解き方は、

まず$$\left( a_{n+1}-\alpha \right) =p\left( a_{n}-\alpha \right) ・・・(*)$$

$$←この様な等比数列型へ式変形した上で、$$

$$\begin{aligned}\left( a_{n+1}-\alpha \right) =b_{n+1}\\
\left( a_{n}-\alpha \right) =b_{n}\end{aligned}$$

とそれぞれ置き、

bn+1=rbn の等比数列の漸化式を解いて

bn=(nの式) を作ります。そして

(anーα)=bn=(nの式)を移項して

{an}の一般項を作ります。

・(anーα)のαを求める

このタイプの問題で、等比数列型にする時、上述した様にαを求める必要があります。その方法は、(*)を展開して、もとの数列と比較する方法を取ります。

従って、今回はじめに挙げた例題

$$a_{1}=8,a_{n+1}=2a_{n}+4$$

を(*)の形に変形して、展開します。これを

$$a_{n+1}=2a_{n}+4$$

と比較してみると、αの値がわかります。実際にやってみると、

$$\begin{aligned}\left( a_{n+1}-\alpha \right) =2\left( a_{n}-\alpha \right) \\
\Leftrightarrow a_{n+1}=2a_{n}-\alpha \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}a_{n+1}=2a_{n}+4\\
a_{n+1}=2a_{n}-\alpha \end{aligned}$$

$$上下比較して、α=ー4である事が分かりました。$$

等比数列型漸化式に帰着させて解く

よってこれを等比数列型にすれば、

$$\left\{ a_{n+1}-\left( -4\right) \right\} =2\left\{ a_{n}-\left( -4\right) \right\} $$

$$\begin{aligned}\left( a_{n+1}+4\right) =2\left( a_{n}+4\right) \\
b_{n+1}=2b_{n}\end{aligned}$$

より、b1=12 。{bn}の一般項は前回と同じ方法:等比数列型の漸化式を解く事で導出して、

bn=12×2^(n-1)となります。12=2・2・3より、bn=3×2^n+1。これでbnが計算出来たので、bnとAnの関係を思い出して、

bn=an+4より、

$${an}の一般項はa_{n}=3\times 2^{n+1}-4と求める事ができました。$$

まとめ

今回のタイプは今後の更に複雑な漸化式の解き方の土台となるものです。等比数列型へ帰着させる流れはこれからも頻繁に出てくるので、今の内に比較的楽な今回のパターンをマスターしてしまいましょう!

続編作成しました!

数列の漸化式の解き方第三回:階差数列帰着型

是非続けてご覧下さい!

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今日も最後までご覧頂きありがとうございます!

 

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