位置ベクトルとは?ベクトル入門第3回

 

第2回の後半の例題はこの記事を読んでから読み直して見てください。

新たな発見があると思います。

また、全く初めてベクトルに触れる方は第一回ベクトル入門(1)←このリンクを先に読んでおいてください。

位置ベクトルって何?

これはベクトル方程式って何?と共にベクトルで良く聞かれる2大テーマです。

両方共イメージがつきにくい為に、曖昧にしてしまう人が多いですが、今回扱う位置ベクトルは一度理解すると非常にシンプルです。

位置ベクトルの正体

ベクトルは、長さが決まっていて、向きを持つものでした。すなわち、ベクトル=有向線分なんだ!という解説を第一回でしました。

(危うい人は第一回へ・・・)

ということは、始点を決めてしまうと、そのベクトルの終点も自動的に決定されます。

 

これまで、座標平面(xy平面)で点の位置を表そうとする時には、原点(0,0)を基にして、点P(3,7)の様に表示をしていました。(図形と方程式の範囲)

これをベクトルで表そう!というのが位置ベクトルの考え方です。

 

まず、基準とする点Oを決めます(点Oの場所はどこにとっても良いですが、原点に点Oを置く事が多いです。)

そして、平面上の点Pに対して→OPを→pとします。この時、上に書いた様に始点は点O、ベクトルは向きと長さが決まっているので、

点Pへのベクトル→pは一通りしかないですし、その逆を言えば、→pの先に有る点はPしかありません。要するにベクトル→p=点Pが成り立ちます。

この様に、ベクトル→pと点Pは一対一に対応します。

→pの事を点Pの位置ベクトルといいP(→p)で表すことにしました。

ところで、何故わざわざベクトルを使って点を表すのでしょう?

上の位置ベクトルの説明でもわかる様に、少しややこしい考え方(慣れるとなんでもないですが)を使ってベクトルを導入しています。

別に位置ベクトルなど持ち出さなくても、図形と方程式でやった様に、座標を(x、y)で表して問題をといて行けば良い様に思えます。

しかし図形と方程式ではxーyの直交座標を使っているので、斜めの線や三角形、五角形などx軸/y軸に平行でない図形を解こうとすると、

一気に計算が増えて大変になります。

(例えば三角形の斜めの辺に垂直な線を求めようとすると、まず斜めの辺の方程式を計算して、

その傾き×垂直な線の傾き=-1、そして切片をを求めなければいけない事になります。)

ところがベクトルは特に軸に縛られません。好きな様に斜めのベクトルでも使うことができる。

この性質があるおかげで計算量が劇的に減り楽になります。(詳しくは内積の回に、、、)

ベクトルの分解

座標上に点O、点A、点Bがある時、位置ベクトルを使って→AB=→bー →a とかけます。

何故なら、点Aから点Bへ向かう方法としては直接AからBへ行くルートと、一旦AからOに逆向きに戻ってOからBへ向かうルートがあり、

AからOへはマイナスaベクトル(aベクトルの逆ベクトル)、OからBへはbベクトルと進めるからです。

そしてマイナスaベクトルは→マイナスOA、bベクトルは→OBなので→ AB=→OBー→OAと書けます。

ベクトルの分解

 

つまりOを基準に考えるとベクトルABは後ー前に分解できるという事です。

このベクトルの分解は頻繁に使うので、「あとーまえ」だけでも使えるようになって下さい。

如何でしたか?まだ今の段階ではボヤッとした理解かも知れませんが、使っているうちに自然と慣れてくるので、基本問題を解いていって下さい。

 

 

「学ぶ≒真似ぶ」というくらいなので、この単元に限らず、ある程度理解できたかな?と思ったら問題を解いてみる

→10~20分くらい考えても分からなければ解答を見て真似をする。

→しばらくしてもう一度解いてみる。

の繰り返しが一番効率よく苦手分野でも身につけられる方法です(少なくとも、受験勉強や資格勉強では)。

(勉強法と割り切りについては一度記事にまとめたいと思います)

ベクトルの解説記事をもっと→ベクトルとは?ゼロから始める徹底解説記事9選読む。

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