ベクトルの外積って何?

ベクトルについて勉強していると、「内積」というベクトル同士の掛け算が登場します。

そこからの自然な考え方として、「内」積があるのだから、「外」積もあるのでは?と思う人も多いのでは無いでしょうか?

当然「外積」も存在するのですが、現在高校では教えられていません。

ただし、外積を理解しておくと数学や、物理(特に電磁気学)などで理解が進むこともあるので、

意欲でハイレベルを目指す高校生や、大学の理系学部1年生で線形代数学を学び始めた(る)方にも役に立つ内容になっています。

(線形代数学のシリーズは現在作成中です)ので、是非この記事を読んでみてください。

外積とは何か?

※ベクトルの内積は既知のものとして進めるので、曖昧な人は「ベクトルの内積がわかる!ベクトル同士の掛け算の正体

・「ベクトルの成分表示での内積と、垂直条件、平行条件」を先にご覧ください。

内積と外積の共通点と相違点

$$内積は\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}$$

の様に表し、この時、ベクトルとベクトルの間を(・)で表すので、ドット積と言ったりもしました。

一方で、$$外積は\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {b} $$

と表します。

$$スカラーの掛け算と同じ様に(\times )を使うので、$$

クロス積とも言います。

重要なことは、

$$内積がベクトル量\cdot ベクトル量=スカラー量$$

$$になるのに対して、$$

$$外積はベクトル量\times ベクトル量=ベクトル量 となることです。$$

つまり、外積の答えは「向き」と「大きさ」の2つの情報を持っているということが出来ます。

外積の順番

次は掛け算の順番についてです。詳しくは現在制作中の線形代数の記事で解説しますが、外積はその順序が変わることで答えが変化します。

つまり、$$なす角\theta =0°,180° の時を例外として、$$

$$\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {b} ≠\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {a}$$

となるのです!$$内積は\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b} =\overrightarrow {b}\cdot \overrightarrow {a}でしたし、$$

$$普通のスカラー量同士の掛け算、$$

$$例えば2×10=10×2の様に答えは変わらなかった$$

ことを考えるとかなり異なっていることがわかると思います。(理由は後述します。)

外積の大きさの意味するもの

さて、外積の答えは「大きさ」と「向き」の情報を持つベクトル量だと説明しました。

では、ここでの「大きさ」とは何を表しているのでしょうか?

 

二つのベクトルが作る平面

外積と法線ベクトル

<図1>

その為には、二つのベクトルが作る平面を理解する事が大切です。

$$今、空間中にある\overrightarrow{a} と、$$

$$\overrightarrow{b} が作る平面(なす角θ)は平行四辺形になります。$$

外積の大きさ

 

外積、2つのベクトルが作る平面

<図2>

そして、この平行四辺形の面積(Sとします)こそが、$$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} $$

$$の“外積の大きさ”になります。$$

これを式で書くと、

$$S=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|sin\theta$$

となります。以下の<図3>参照

外積と平行四辺形の大きさ

<図3>

 

外積の向きの求め方

大きさの求め方が分かったかと思うので、次に「外積の向き」について見ていきます。

外積の向き、右ねじ

<図4>

この向きの決め方が少しヤヤコシイのですが、ベクトルAを、ベクトルBまで回して重ねる様に、

右手の親指以外を<図4左下>の要領で丸めた時の親指の向きが、

$$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$$の向きになります。

(分かりにくい人は、高校物理の磁気分野で、【電流が作る磁界の方向を決める】ときと同じだと考えてみて下さい。)

結局ベクトルの外積は薄い青色の平面(ベクトルAとベクトルBが作る平面)と垂直な、青のベクトルであると言えます。

順序の違いで外積が変わる理由

先ほど、外積は普通順序が変わると結果も変わる性質があると書きました。

その理由を上の<図4>で考えてみると、

$$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$$から

$$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}$$

順序が変わることで、AベクトルからBベクトルに向かって回す方向が逆になります。

つまり、親指の向きは下になることから、外積は真逆を向くことになるので、順序によって変化するのです。

成分表示での外積

 

成分表示での外積

以上でキソ的なベクトルの外積の解説はほぼ終わったのですが、もうひとつ学ぶ事があります。

それは、ベクトルの成分表示されたベクトル同士の外積の大きさです。

$$内積の場合は、(a,b,c)\cdot (p,q,r)=ap+bq+cr$$$$(スカラー量)でした。$$

外積の場合はもう少し複雑で、$$\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}
Ax \\
Ay \\
Az
\end{pmatrix}$$ ,$$\overrightarrow{b}= \begin{pmatrix}
Bx \\
By \\
Bz
\end{pmatrix},の成分で表されるとき$$

$$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}=$$

$$\begin{pmatrix}
AyBz-AzBy \\
AzBx-AxBz \\
AxBy-AyBx
\end{pmatrix}$$

という成分で表されたベクトル量 になることに注意して下さい。

ベクトルまとめと線形代数へ

(線形代数シリーズ制作中)

ベクトルとは?0から応用まで総復習記事10選

 

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