ベクトルの掛け算(内積)

今回はベクトルの掛け算(内積)について解説して行きます。

高校で習うベクトルの中でも、特に重要なものなので、是非じっくり読んでみて下さい。

ベクトルの掛け算:内積とは?

ベクトルの掛け算は2種類ある!内積と外積

前回、ベクトルの足し算と引き算を紹介しました。→「ベクトルが分からない?はじめから解説します

そうすると、掛け算もあるのではないかと思うのは自然な事だと思います。

実はベクトルの足し算、引き算と違ってベクトルには2種類の全く違う「掛け算」が存在します!

一つは内積とよばれるもので、ベクトルとベクトルの間に掛け算であることを示すためにドット(・)を書きます。

高校で習うのはこちらの掛け算です。

内積の定義

ベクトルと言うのは「向き」と「大きさ」の二つの情報を持っていましたが、ベクトルの内積では以下の式の通り、「大きさ」つまりスカラー量しか計算しません。

したがって、ベクトル量の掛け算にも関わらず、答えは「数=スカラー」だけが出てきます。

内積の定義の式:ベクトルA≠0、ベクトルB≠0のもとで、

$$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=\left| \overrightarrow {a}\right| \left| \overrightarrow {b}\right| \cos \theta $$

この式を日本語にすると、ベクトルAとベクトルBの内積は、ベクトルAの大きさ掛けるベクトルBの大きさ掛けるcosθ

但し、ベクトルAとベクトルBのなす角をθとして、0°≦θ≦180°

なす角というのは、ベクトルAとベクトルBの始点をそろえた時の間の角度のことです。

ベクトルの内積の図

<図1>

これが一つ目の掛け算(内積)の定義です。

もうひとつの掛け算「外積」

2つ目は外積といって、記号は普通の掛け算と同じ(×)を使います。

外積については、高校範囲外ですが、

興味のある人は→「外積とは?ベクトルのもう一つの掛け算:内積との違いや計算法を解説」を(内積を理解した後で)読んでみて下さい。

(外積はベクトル量同士を掛けるので、出てくる答えもベクトル量になります)

同一ベクトルの内積

今ベクトルA≠0があるとします。このベクトルA同士の内積はどうなるでしょうか?

(先ほどの図1を参考にしながら読み進めて下さい)

定義に従って計算すると、同じベクトル=重なっているので、なす角θ=0°だから、

A・A=| A|| A|cos0°

$$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {a}=\left| \overrightarrow {a}\right| \left| \overrightarrow {a}\right| \cos 0^{\circ }$$

cos0°=1より

$$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {a}=\left| \overrightarrow {a}\right| ^{2}$$

A・ A=|A| ^2 になります。

ベクトルの大きさ(=長さ)とベクトルの二乗

同一ベクトル同士の内積は、そのベクトルの「大きさ=長さ」の二乗になります。

これも大変重要なルールなので、しっかり覚えておいて下さい。

ベクトルの内積計算のルールと例

(普通の文字と同様に計算出来ますが、 A・ Aの時、 Aの二乗ではなく、上述したように絶対値Aの二乗になることに注意して下さい!)

交換法則

交換法則とは、以下の様にベクトル同士を掛ける順番を逆(交換)しても同じ値になる、という法則です。

当たり前の様に感じるかもしれませんが、大学で習う「行列」では、掛ける順番で結果が変わる事がほとんどなのです。<参考:「行列同士の掛け算を分かりやすく!」>

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$$

分配法則

分配法則は式で見た方が早いかもしれません。

$$\vec{p}\cdot (\vec{q}+\vec{r})=\vec{p}\cdot \vec{q}+\vec{p}\cdot \vec{r}$$

 

ではここまでのルールと計算を使った例を見ていきましょう。

例1)

$$\left( \overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\right) \left( \overrightarrow {a}\right) =\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {a}+\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}$$

$$=\left| \overrightarrow {a}\right| ^{2}+\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}$$

( A +B)( A)

= A・ A+ A・B

=|A| ^2 + A・B

例2)

$$\left( \overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\right) \left( \overrightarrow {a}+\overrightarrow {c}\right) =$$

$$\left| \overrightarrow {a}\right| ^{2}+\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}+\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {c}+\overrightarrow {b}\cdot \overrightarrow {c}$$

( A +B)( A +C)

= |A| ^2 + AC + AB +BC

絶対値付きのベクトルの式が出て来る問題

これは解き方が決まっているので、例題を通して身に付けて下さい。

今日のpoint!絶対値の中にベクトルの式が有れば、二乗せよ!

(例題1)

$$\left| \overrightarrow {a}\right| =3,\left| \overrightarrow {b}\right| =4,\left| \overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\right| =7$$

$$の時\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}を求めよ$$

$$\left| \overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\right| ^{2}=\left| \overrightarrow {a}\right| ^{2}+2\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}+\left| \overrightarrow {b}\right| ^{2}$$

$$\begin{aligned}49=9+2\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}+16\\
\Leftrightarrow 24=2\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=12\end{aligned}$$

 

(例題2)ベクトルの内積の定義を思い出そう!

 

|A|=2 |B|=3  A・B= 3の時 ベクトルAとベクトルBの成す角θを求めよ。

$$\left| \overrightarrow {a}\right| =2,\left| \overrightarrow {b}\right| =3,\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=3,\theta =?$$

$$ベクトルの内積の定義は\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=\left| \overrightarrow {a}\right| \left| \overrightarrow {b}\right| \cos \theta より$$

$$変形すると\cos \theta =\frac {\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}}{\left| \overrightarrow {a}\right| \left| \overrightarrow {b}\right| }となるので$$

$$\cos \theta =\frac {3}{2\cdot 3}=\frac {1}{2}$$

$$\begin{aligned}0^{\circ }\leq \theta \leq 180^{0},\cos \theta =\frac {1}{2},\\
\theta =60^{0}\end{aligned}$$

よって、θ=60°//

ベクトルの垂直条件と内積

ベクトルの内積の考え方を応用すると、ベクトル同士が垂直である為の条件を導く事ができます。

こちらも先ほどの図を参考にして下さい。

始点が揃った2つのベクトル A、ベクトルBが垂直の時、成す角θ=90°になるので、内積の定義より、

$$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=\left| \overrightarrow {a}\right| \left| \overrightarrow {b}\right| cos90^{\circ }=0$$

A・B=|A||B| cos90°=0

(∴)垂直条件は内積= 0になります。

ベクトルAがBに垂直な時は、上から光を当てた影の長さは0になる事が図1からイメージできるかと思います。

0に何を掛けても0なので、計算式だけでなく図でも垂直条件=内積が0という事が分かる様にしておきましょう!

今日のまとめ問題

ベクトルAとベクトルBが、|A|=3、|B|=2、 A・B=6を満たしている時、 |6 AーB|の値を求めよ。

$$\left| \overrightarrow {a}\right| =3,\left| \overrightarrow {b}\right| =2,\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=6$$

$$\left| 6\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}\right| =?$$

$$\begin{aligned}\left| 6\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}\right| ^{2}=36\left| \overrightarrow {a}\right| ^{2}-12\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}+\left| \overrightarrow {b}\right| ^{2}\\
\Leftrightarrow 36\times 9-12\times 6+4=256\end{aligned}$$

$$\left| 6\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}\right| ^{2}=256$$

$$\left| 6\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}\right| ^{2} >0より$$

$$\left| 6\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}\right| =16$$

従って、 |6 AーB|の値は16//

まとめと関連記事

ベクトルの内積は平面・空間ベクトルを問わず必ず使う物なので、基本的な計算と定義、今日のpoint!は必ず抑えておいて欲しいです。

また、ベクトルは物理と深く関わる非常に面白い分野なので、そのことについても紹介して行きたいと思います。

今回もお疲れ様でした。なお質問やリクエスト、その他お問い合わせはコメント欄にお願い致します。

お役に立ちましたら、次のまとめ記事を読んで、更にベクトルを得意分野にしましょう!

成分表示での内積・垂直/平行条件

この記事では、成分表示を使わない「内積」を解説してきましたが、次の記事で成分表示での内積と、

それを利用した「垂直条件」「平行条件」を例題とともに解説していきます。

ベクトルの成分表示での内積計算とその応用

ベクトルの総まとめ記事

この記事は、ベクトルについて解説した記事をやさしい順に並べて、応用問題まで解ける様に作成したものです。

ベクトルとは?ゼロから始める徹底解説記事9選」をよむ。

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