ベクトルどうしの掛け算(内積)

今回はベクトルの掛け算(内積)について解説して行きます。

高校数学で習うベクトルの中でも、特に重要なものなので、ぜひじっくり読んでみて下さい。

内積とは何か?ベクトルの掛け算の意味

そもそも『内積』とは何なのか?はじめから見てみましょう。

ベクトルの掛け算は2種類ある!内積と外積

前回、ベクトルの足し算と引き算を紹介しました。→「ベクトルが分からない?はじめから解説します

そうすると、掛け算もあるのではないかと思うのは自然な事だと思います。

実はベクトルの足し算、引き算と違ってベクトルには2種類の全く違う「掛け算」が存在します!

一つは内積とよばれるもので、ベクトルとベクトルの間に掛け算であることを示すためにドット(・)を書きます。(このことから内積のことをドット積と呼ぶことがあります)

高校で習うのはこちらの掛け算です。

内積の定義

ベクトルと言うのは「向き」と「大きさ」の二つの情報を持っていましたが、ベクトルの内積では以下の式の通り、「大きさ」つまりスカラー量しか計算しません。

したがって、ベクトル量の掛け算にも関わらず、答えは「数=スカラー」だけが出てきます。

内積の定義の式:ベクトルA≠0、ベクトルB≠0のもとで、

$$\vec {a}\cdot \vec {b}=| \vec {a}| | \vec {b}| \cos \theta $$

この式を日本語にすると、

『ベクトルAとベクトルBの内積は、ベクトルAの大きさ掛けるベクトルBの大きさ掛けるcosθ』

(但し、ベクトルAとベクトルBのなす角をθとして、0°≦θ≦180°)

なす角というのは、ベクトルAとベクトルBの始点をそろえた時の間の角度のことです。

ベクトルの内積の定義のイメージ図

<図1:内積の定義>

これが一つ目の掛け算(内積)の定義です。

もうひとつの掛け算「外積」

2つ目は外積といって、記号は普通の掛け算と同じ(×)を使います。

外積については、高校範囲外ですが、興味のある人は

→「外積とは?ベクトルのもう一つの掛け算:内積との違いや計算法を解説」を

(内積を理解した後で)読んでみて下さい。

(外積はベクトル量同士を掛けるので、出てくる答えもベクトル量になります)

同一ベクトルの内積

今ベクトルA≠0があるとします。このベクトルA同士の内積はどうなるでしょうか?

(先ほどの図1を参考にしながら読み進めて下さい)

定義に従って計算すると、同じベクトル=重なっているので、なす角θ=0°だから、

A・A=| A|| A|cos0°

$$\vec {a}\cdot \vec {a}=| \vec {a}|| \vec {a}| \cos 0^{\circ }$$

cos0°=1より

$$\vec {a}\cdot \vec {a}=| \vec {a}| ^{2}$$

A・ A=|A| ^2 になります。

ベクトルの大きさ(=長さ)とベクトルの二乗

同一ベクトル同士の内積は、そのベクトルの「大きさ=長さ」の二乗になります。

これも大変重要なルールなので、しっかり覚えておいて下さい。

内積の計算のルール

(普通の文字と同様に計算出来ますが、 A・ Aの時、 Aの二乗ではなく、上述したように絶対値Aの二乗になることに注意して下さい!)

交換法則

交換法則とは、以下の様にベクトル同士を掛ける順番を逆(交換)しても同じ値になる、という法則です。

当たり前の様に感じるかもしれませんが、大学で習う「行列」では、掛ける順番で結果が変わる事がほとんどなのです。<参考:「行列同士の掛け算を分かりやすく!」>

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$$

分配法則

分配法則は式で見た方が早いかもしれません。

$$\vec{p}\cdot (\vec{q}+\vec{r})=\vec{p}\cdot \vec{q}+\vec{p}\cdot \vec{r}$$

 

ではここまでのルールと計算を使った例を見ていきましょう。

例1)

$$( \overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}) ( \overrightarrow {a}) =\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {a}+\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}$$

$$=| \overrightarrow {a}| ^{2}+\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}$$

( A +B)( A)

= A・ A+ A・B

=|A| ^2 + A・B

例2)

$$( \vec {a}+\vec {b})( \vec {a}+\vec {c}) =$$

$$| \vec {a}| ^{2}+\vec {a}\cdot \vec {b}+\vec {a}\cdot \vec {c}+\vec {b}\cdot \vec {c}$$

( A +B)( A +C)

= |A| ^2 + AC + AB +BC

絶対値付きのベクトルの式が出て来る問題

これは解き方が決まっているので、例題を通して身に付けて下さい。

今日のpoint!絶対値の中にベクトルの式があれば、二乗せよ!

(例題1)

$$| \vec {a}| =3,| \vec {b}| =4,| \vec {a}+\vec {b}| =7$$

のとき、ベクトルaとベクトルbの内積を求めよ

$$| \vec {a}+\vec {b}| ^{2}=| \vec {a}| ^{2}+2\vec {a}\cdot \vec {b}+| \vec {b}| ^{2}$$

$$\begin{aligned}49=9+2\vec {a}\cdot \vec {b}+16\\
⇔ 24=2\vec {a}\cdot \vec {b}\\
⇔ \vec {a}\cdot \vec{b}=12\end{aligned}$$

よって、ベクトルa,bの内積は12・・・(答)

(例題2)ベクトルの内積の定義を思い出そう!

|A|=2 |B|=3  A・B= 3の時 ベクトルAとベクトルBの成す角θを求めよ。

$$| \vec {a}| =2,| \vec {b}| =3,\vec {a}\cdot \vec {b}=3,θ =?$$

ベクトルの内積の定義は$$\vec {a}・ \vec {b}=| \vec {a}| | \vec {b}| \cos θより$$

$$変形すると\cos θ =\frac {\vec {a}\cdot \vec {b}}{| \vec {a}|| \vec {b}| }となるので$$

$$\cos θ =\frac {3}{2\cdot 3}=\frac {1}{2}$$

$$\begin{aligned}0^{\circ }\leq θ \leq 180^{0},\cos θ =\frac {1}{2},\\
θ =60^{°}\end{aligned}$$

よって、ベクトルaとbのなす角θ=60°・・・(答)

内積とベクトルの垂直条件

ベクトルの内積の考え方を応用すると、ベクトル同士が垂直である為の条件を導くことができます。

こちらも先ほどの図を参考にして下さい。

始点が揃った2つのベクトル A、ベクトルBが垂直の時、成す角θ=90°になるので、内積の定義より、

$$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=| \overrightarrow {a}|| \overrightarrow {b}| cos90^{\circ }=0$$

A・B=|A||B| cos90°=0

(∴)垂直条件は内積= 0になります。

ベクトルAがBに垂直な時は、上から光を当てた影の長さは0になる事が図1からイメージできるかと思います。

0に何を掛けても0なので、計算式だけでなく図でも"垂直条件=内積が0"という事が分かる様にしておきましょう!

内積のまとめ問題

ベクトルAとベクトルBが、|A|=3、|B|=2、 A・B=6を満たしている時、 |6 AーB|の値を求めよ。

$$| \overrightarrow {a}| =3,| \overrightarrow {b}| =2,\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=6$$

$$| 6\vec {a}-\vec {b}| =?$$

$$\begin{aligned}| 6\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}| ^{2}=36| \overrightarrow {a}| ^{2}-12\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}+| \overrightarrow {b}| ^{2}\\
⇔ 36× 9-12× 6+4=256\end{aligned}$$

$$| 6\vec {a}-\vec {b}| ^{2}=256>0より$$

$$| 6\vec {a}-\vec {b}| =16$$

従って、 |6 AーB|の値は16//

内積のまとめとベクトルの関連記事(成分表示での内積へ)

ベクトルの内積は平面・空間ベクトルを問わず必ず使う物なので、基本的な計算と定義、今日のpoint!は必ず抑えておいて欲しいです。

また、ベクトルは物理と深く関わる非常に面白い分野なので、そのことについても紹介して行きたいと思います。→<参考:「物理基礎(力学)のためのベクトルと三角比」>

今回もお疲れ様でした。なお質問やリクエスト、その他お問い合わせはコメント欄にお願い致します。

お役に立ちましたら、次のまとめ記事を読んで、更にベクトルを得意分野にしましょう!

成分表示での内積・垂直/平行条件

この記事では、成分表示を使わない「内積」を解説してきましたが、次の記事で成分表示での内積と、

それを利用した「垂直条件」・「平行条件」を例題とともに解説していきます。

ベクトルの成分表示での内積計算とその応用

ベクトルの総まとめ記事

この記事は、ベクトルについて解説した記事をやさしい順に並べて、応用問題まで解ける様に作成したものです。

ベクトルとは?ゼロから始める徹底解説記事9選」をよむ。

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