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執筆者・編集者プロフィール
安田周平
個別指導塾YES/YESオンラインスクール塾長・船場物産株式会社代表取締役社長。
理数・情報系記事とデータサイエンスの為の基本レベルの線形代数等の解説記事を執筆しています。

剰余類が今回のテーマです

<この記事の内容>:高校数学A「整数」分野で登場し、以下の記事で紹介した「閃き・センス不要!整数攻略の3道具」の3番目である”剰余類”を詳しく見ていきます。

・「剰余類」の意味と例

・実際に使ってみよう

・余りに関する証明問題

・分類をショートカットする為の小技

・剰余類と合同式

「剰余類」の意味と例

「剰余類という言葉は聞いたことがあるけど、よく意味は分かっていない」という人や、「意味は知っていても実際にどの様な時にどう使うのか知りたい!」といった人達に向けて今回は、初めから解説していきます。

剰余類とは

簡単に説明すると、ある数で整数を割った余りが同じグループ(類)のことで、「ある数を法とする剰余類」という風に言います。

もう少し具体的に見てみましょう。

(具体例)整数Nを5で割ったとき

余りは1、2、3、4、0(割り切れる時)のいずれかなので、余りに注目して分けると、kを整数として

N=5k +1

N=5k +2

N=5k +3

N=5k +4

N=5k(+0)

にグループ分けできます。

それぞれNを5で割った余りが同じグループなので、「5を法とする剰余類」と言います。

また、この様なグループ分けを「剰余類に分ける」と表現します。

剰余類に分ける方法を実践する

では、剰余類に分けることをどの様に使うのか、簡単な問題を使って見ていきます。

(例題1)

整数nについて、\(n ^{2}\)を5で割った時の余りが全て

0、1、4のいずれかである事を証明せよ。

 

解答解説

nは無数にあるので、全てのn ^2を5で割って確認することはできません。

この様な時に剰余類の考え方が役に立ちます。

先ほど上で解説した、5を法とする剰余類に分けると、全てのnは、k(整数)を使って

n=5k

n=5k +1、

n=5k +2、

n=5k +3、

n=5k +4 と表せます。

分類をショートカットする小技

これから、実際にn ^2に代入して確かめていくのですが、5つを代入するのは少し大変です。

そこで、以下の様に書き換えます。

n=5k、n=5k±1、n=5k±2・・・(#1)

何故この様にまとめられるのでしょうか?

n=9の時を考えてみましょう。

n=5・(1)+4  とも表せますが、

n=5・(2)-1でも同じくn=9を表せていますね!

つまり、

n=5k+4  はn=5k-1に

n=5k +3はn=5k-2 と置けるのです。

すると、代入する値は「±」を使うことで(#1)の3つに減るので計算が楽になります。今後頻繁に使うので、ぜひ覚えておいて下さい。

証明問題での剰余類の利用

問は「\(n^{2}\)の余りが、0、1、4である事を示せ」

だったので、\(n^{2}\)に(#1)をそれぞれ代入して

(a):\( (5k±1)^{2}=25k^{2}±10k +1\)

右辺を5でくくると、\(5(5k ^{2}±2k) +1\)

【\(5(5k^{2}±2k)\)】の部分は5でくくれる=5で割り切れるので、

余りは1になります。同様に、

(b):\((5k±2)^{2}=25k^{2}±20k +4\)

\(5(5k^{2}±4k) +4\)

よって余りは4です。

(c):\((5k)^{2}=25k^{2}\)

\(5(5k^{2})\)

この場合は割り切れるので余りは0です

従って(a)〜(c)より全ての整数nについて\(n^{2}\)を5で割った余りは0、1、4のいずれかになる。(了)

剰余類と合同式

上の問題で剰余類の考え方を使いましたが、他の問題でも使い道は沢山あります。その前に、「合同式」を紹介しておきます。

剰余類も合同式も「余りが共通のものを主役にする」という意味で同じで、扱いやすくするために合同式を使う事が多いです。

そして、合同式は場合分けするには数が大きすぎたり、個数が多いときなどに大いに活躍します。

詳しくは「合同式を使っていますか?」をご覧下さい。

 

次回は、剰余類を使った証明問題を更に紹介します。

 

整数分野攻略への道<解法総まとめ>

 

今回も最後までご覧いただき有難うございました。

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