一次変換って何？イラストで理解するわかりやすい線形代数入門４

2018-11-25 2024-07-17

執筆者・編集者プロフィール

安田周平

■個別指導塾YES/YESオンラインスクール塾長・船場物産株式会社代表取締役社長。
★塾長及びyesの講師陣がマンツーマンで英検・TOEIC・TOEFL・数検・大学入試対策(英・数・物・化・情報1)を指導します。(東京・大阪・オンライン)
★詳細は以下のリンクよりお問い合わせください。
■『スマナビング！を見て受講希望』とお伝えいただければ、特別優待を準備しています。

＞＞個別指導塾YES公式HP＜＜

線形代数入門シリーズ（４）：一次変換

この「線形代数入門シリーズ」は、高校数学と大学の本格的な線形代数学との隙間を埋めるものです。

今回は、「一次変換」について解説していきます。なお、これまでの第一回〜第三回で紹介した行列の知識は必須なので、未読の方はぜひ以下のリンクから先にお読みください。

「線形代数学入門１：線形代数の意味と行列の基礎」

（第二回・第三回と関連記事はまとめからもご覧いただけます。）

＞＞「【随時更新】線形代数シリーズ：０から学べる記事総まとめ【保存版】」を読む＜＜

目次(タップした所へ飛びます)

一次変換とは何なのか？
一次変換のまとめ
- 関連記事と線形代数（行列）入門シリーズ

一次変換とは何なのか？

はじめに、一次変換(線形変換とも言います)とはどういったものなのかを書いておきます。

厳密な定義は「集合と写像」（←作成しました。一部追記中。）の知識が必要なので、大体の意味が分かれば読み進めて下さい。

変換：「座標上の点を別の点に移す（移動させる）事」（正確には、ある集合から同一の集合への写像を変換という）

座標上の点《(x,y)とします》を、別の座標《(X,Y)とします》に移す時、新しい座標が、X=ax+by の様に「定数項を含まない一次式」で表される時、この移動を一次（線形）変換と言います。

更に、これを行列を使って表すと、

$$\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ax+by \\
cx+dy
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix}$$

となり、この時、元の座標に掛けた

$$行列\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$$

の事を「この一次変換を表す行列」と呼びます。

・・・なかなかややこしいですね。

しかし、このシリーズはあくまで『大学で学ぶ整形代数への橋渡し』がテーマなので、

詳しくは大学で学ぶとして、まずは具体的に一次変換の例を見てみましょう。

座標上の点を一次変換してみる。

実際に行列Aの表す一次変換によって、xy座標上の点(1,2)がどの様に移動するのか見てみます。

$$行列A＝\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}とします。$$

$$すると、\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 \\
-2
\end{pmatrix}$$

となり、点（1,2)は（-1,-2）に移動します。

複数の点を一次変換する

今度は、複数の点に行列Aをかけてみます。

このように、行列Aをかけると「原点に関して、対称に移動している」ことがわかるでしょうか？

複素数平面でも、座標上の点を移動させたり拡大縮小させることがありました。

一次変換も、行列をかけるだけで移動させることができる、大変便利なものなのです。

以下に、x軸やy軸に関して対称に移動させたり、θ回転させたい時に座標に「掛ける」行列を並べておきます。

反時計回りにθ回転させたい時

θ反時計回りに回転させるとき、

$$行列\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & cos\theta
\end{pmatrix}$$

x軸に対称に移動させる

$$\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$$

y軸に対称に移動させる

$$\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}$$

原点に対称に移動させる

$$\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$$

先ほども出てきましたよね。

行列式と一次変換の関係

ここからは、「逆行列とは？行列の割り算と行列式」で取り上げた、“行列式”と一次変換について解説していきます。

上で取り上げた例では、掛けた行列Aの行列式が≠０でしたが、

行列式＝０である行列とかけ合わせると一体どうなるのでしょうか？

$$行列B＝\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 6
\end{pmatrix}$$

として、以下の図のような青色の点（0,1）、赤色の点（1,1）、オレンジ色の点（0,2）にそれぞれBをかけてみると、、

このようにy＝２xの一直線上に並んでいます。

このように、行列式と一次変換には

上のような関係があります。

一次変換の練習問題

例題：ある一次変換によって、座標（１,２）が（７,１４）に移り、（４,３）は（１３,３１）に移った。

問：この一次変換を表す２行２列の行列Aを求めよ。

この問題は、これまで紹介してきた一次変換を応用したものです。

少し時間をとって考えてみてください。

解説

とにかくこの一次変換を表す行列が全くわからないので、２×２の行列Aの成分を以下のように仮定します。

$$まず、行列A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}とおいて、$$

$$A\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7 \\
14
\end{pmatrix}$$

$$A\begin{pmatrix}
4 \\
3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
13 \\
31
\end{pmatrix}より、$$

$$\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a+2b \\
c+2d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7 \\
14
\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 \\
3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4a+3b \\
4c+3d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
13 \\
31
\end{pmatrix}$$

ここで、a,b,c,dについて解くと、

a+2b=7と、4a+3b=13これを解いて、

a=1,b=3。

c+2d=14と、4c+3d=31を解いて、

同様に、

c=4,d=5。

$$したがって、行列A＝\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
4 & 5
\end{pmatrix}$$

一次変換のまとめ

・いかがでしたか？定義の部分など難しいところがあったかと思いますが、一次変換がどういったものなのか、何となくでもイメージ出来るようになって貰えれば幸いです。