基底・標準基底とその周辺(0からの線形代数シリーズ)

<この記事の内容>:線型(ベクトル)空間における『基底・標準基底』の意味と、それらの変換・取り替えを図を利用して0から紹介しています。

<これまでの関連記事>:前回「部分空間(ベクトル空間)と基底・次元を解説!」では、ベクトル空間における基底の定義を紹介しています。今回の内容は主に“基底の変換”について具体的に解説したものです。

線形代数を分かりやすく!0から学ぶ解説記事総まとめ」(必要に応じてご利用ください!)

基底とは何か?

早速、『基底(きてい)』と言葉の意味から解説していきます。理解しやすいように、ここではR2(2次元)での基底を主に扱います。

が、3次以上になっても考え方は同じなので、まず2次での基底をきっちり理解するようにしましょう。

定義の復習(次の項からが本題です)

一応、前回の基底のところで紹介した定義を再掲しておきます。??な人は次の『標準基底と〜』を先にご覧ください。

『基底』の定義

定義1:線形空間Vの元(要素)を$$\vec{a_{1}},\ldots,\vec{a_{m}}$$とする時、m個の元は全て”線形独立”であること。

、かつ、

定義2:Vの任意の元(=どんなベクトルでも)を、実数$$〔k_{1},\ldots,k_{m}|k_{j}\in\mathbb{R}〕$$ と、

$$\vec{u}=k_{1}\vec{a_{1}}+\ldots+k_{n}\vec{a_{m}}$$の”線形結合の式”で表せるとき

$$\vec{a_{1}},\ldots,\vec{a_{m}}$$の”元の組”をこの”線形空間の基底”と定義します。

(引用元)当サイト内記事:「部分空間と基底・次元の定義」より

標準基底とxy座標

さて、基底の正確な定義は上の通りなのですが、(厳密さを多少犠牲にして)もう少し分かりやすく言うと、xy平面上の任意の元(:要素、ここではベクトルのことです)を表現できる2つのベクトルの組のことであると言えます。

つまり、座標上のあらゆるベクトルは基底によって表すことができ、その最も単純な例が『標準基底』(主にe1,e2,,,で表されます)です。

標準基底とは成分が$$\vec{e_{1}}=\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix},\vec{e_{2}}=\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}$$のベクトルで、任意のベクトルは次のような線形結合式で示すことができます。

xy座標平面における標準基底

<図1:xy平面上の標準基底>

$$線形結合式\begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
e_{1} \\
e_{2}
\end{pmatrix}=xe_{1} +ye_{2}$$

 

基底を構成する元は線形独立

以下の図を見ていただければよく分かりますが、基底が線形従属の関係にある(=線型独立でない)と任意のベクトルを示すことができません。これが最初の『定義2』で紹介したものの意味です。

線形従属と基底

<線形従属なベクトルの組>

多次元での標準基底の表し方

ここまでは2次元での標準基底について解説してきましたが、n次元での任意の元は、『標準基底n個』を利用して、次のような式で表すことができます。

$$e_{1}=\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{bmatrix}e_{2}=\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{bmatrix}\ldots e_{n}=\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\vdots \\
1
\end{bmatrix}$$1〜nまでのeを使って、

$$k_{1}\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{bmatrix}+k_{2}\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{bmatrix}+\ldots +k_{n}\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\vdots \\
1
\end{bmatrix}$$

 

別の基底で表してみる(基底の変換)

さて、ここまでは主に標準基底でのお話でしたが、この項からは別の(標準ではない)基底で任意の元を示すことと、基底の変換について扱っていきます。

基底の変換の方法

まず、以下の図を見てください。

標準基底によってxy座標平面上の任意の点を表す

<(5,5)ベクトルを標準基底で表した図>

これは、標準基底e1とe2を使って、(5,5)のベクトルを表しています。これを新たな基底(ここでは例として次の2つのベクトルa,bを新しい基底とします)$$\vec {a}=\begin{bmatrix}
2 \\
1
\end{bmatrix},\vec {b}=\begin{bmatrix}
-1 \\
2
\end{bmatrix}$$で表す(基底を変換する)ことを考えます。

新たな基底のイメージ

<新たな基底a,b>

基底の取り替え(変換)行列と基底の係数の求め方

ここでは、(5,5)へ基底を変換する際に必要な「行列」と、新たな基底の係数(k1,k2の部分)を求める方法とその手順を紹介します。

先に変換後の図を下に示します。

基底の変換

<基底を変換した後の図>

今回は簡単な2次元での変換なので、上の図より、『aの係数k1=3,かつ,bの係数k2=1』であることが分かりますが、これを行列を利用した計算で求められるようにします。

(4次元以上になると図はかけないので、行列の計算で求めることは必須です)

まず『(左辺)に、変換後の基底の列ベクトル』を並べて、『(右辺)には標準基底を並べたものに行列Fをかけた形』を作ります。

$$(\vec{a},\vec{b})=\begin{pmatrix}
\vec{e_{1}} & \vec {e_{2}}
\end{pmatrix}F=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}F$$

この行列Fのことを『基底の取り替え(変換)行列』と言い、新たな基底のベクトルの係数を求める際に必要になります。

今回は

$$\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}F$$

となるので、両辺の行列に左から$$\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}の逆行列$$をかけることで、Fを求めることができます。

$$よって、F=\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}$$

基底の変換行列から係数を求める方法

今、新たな基底の係数が知りたかったので、$$5\vec{e_{1}}+5\vec{e_{2}}=k_{1}\vec{a}+k_{2}\vec{b}$$を掛け算の形に持ち込み、$$\begin{pmatrix}
\vec{e_{1}} & \vec {e_{2}}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
5 \\
5
\end{pmatrix}=(\vec{a} \vec{b})\begin{bmatrix}
k_{1} \\
k_{2}
\end{bmatrix}$$

先ほどの標準基底とFとの関係式より、$$\begin{pmatrix}
\vec{a} & \vec {b}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\vec{e_{1}} & \vec {e_{2}}
\end{pmatrix}F$$

これは以下のように式変形することができます。

$$\left(\begin{pmatrix}
\vec{e_{1}} & \vec {e_{2}}
\end{pmatrix}\right) \begin{bmatrix}
5 \\
5
\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}
\vec{e_{1}} & \vec {e_{2}}
\end{pmatrix}F\begin{bmatrix}
k_{1} \\
k_{2}
\end{bmatrix}・・・(※)$$

(※)より、右辺と左辺を比べると係数を求めるには、”Fの逆行列を左から両辺に掛ければよい”ことがわかります。

従って、Fの逆行列は$$F^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}で、\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
5 \\
5
\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}
k_{1} \\
k_{2}
\end{bmatrix}$$

以上より、係数部分を比べて$$\begin{bmatrix}
3 \\
1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k_{1} \\
k_{2}
\end{bmatrix}$$よって、(k1=3、k2=1)であることが求まり、この数は確かに先ほどの図での係数と一致します。

基底の変換

<基底の変換後の図(再掲)>

基底のまとめと線形代数の記事へ

今回は式が多く、それを追うのが特に大変だったのではないでしょうか。

理解できるまで、何度もゆっくりと読み返して見てください。

この”基底”は線形写像・固有値・固有ベクトル、そして対角化へと融合していく、線形代数において重要な概念です。

「(現在関連記事を作成中)対角化や固有値・固有ベクトルとの関係』

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>「計量線形空間の定義からコーシー=シュワルツの不等式

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・「固有値・固有ベクトルの意味と計算

・「行列の対角化と対角行列の意味・手順

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