部分積分法を楽に解くコツと公式をイラストで解説!logxも簡単に計算

部分積分の仕方と迷わず計算する為のコツを紹介！

＜この記事の内容＞：「積分法の基本公式（１）」に引き続き、今回は「部分積分の仕方」を紹介していきます。

タイトルの通り、部分積分を楽に解くコツ（下メモ法)を解説しているので、以下の様な人は必見です！

＜この記事を読むべき人＞

・部分積分の公式がややこしくて苦手→１歩１歩手順を図解しているので、文字だけではわかりにくかった式もよく理解できます

・2つの関数のうちどちらを微分/積分の形にすれば良いかわからなくなる。

部分積分とは

数学3の積分では、単なる公式だけでは解決できないパターンも沢山あります。

そのため色々な計算法があるのですが、今回はその中でも「部分積分」を紹介していきます。

部分積分の公式

具体的な式は以下の通りです。一つ目の定義式において、微分の記号である「’」の位置に注意しましょう。 $$\int f'(x) g(x) dx=f(x) g(x) -\int f(x) g'(x) dx$$

ただし、これだけだとややこしく感じるので、実際に具体的な問題を使って解説していきます。

次の不定積分を計算せよ。

\(\int xe^{x}dx\)

部分積分する手順とコツ【下メモ法】

ここから、実際に部分積分していきます。見通しをよくするため、下にメモ（のようなもの）と「箱」を書きながら積分します（下メモ法：勝手に名付けたので良い名前があれば教えてください・・・）。

なるべくわかりやすいように、手順を図解していきます。

1:微分する関数を選ぶコツ

手順1：まずはじめに、「x」と「e^x」のどちらを微分すると楽（単純）な関数になるかを考えて選びます。ここでは当然「x」です。

2:もう一方の関数を積分する

手順2:（１）で選んだ簡単な方の関数を微分して、その下に書きます。同時に、もう一方（ここではe^x）を積分した結果も書き込みます。（e^xは積分してもe^x,ここでは積分定数Cは書きません）。

3:矢印の向きに注意して書き込む

手順3；以下の図のように、微分した関数は下向きに矢印を・積分した関数は下から上向きの矢印を書き込みます。

4:丸で囲った2つの関数を＝の右に書く

手順4：矢印の先でない方（以下の図中では「x」と「e^x（積分した方です）」）をそのまま＝の右側に書きます。

※不定積分の場合です。定積分のときは[]で囲んで計算します。

5:メモした箱の中の∫2関数dxを後ろにおく

手順5：元の∫xe^xdxの下に書いた”ハコ”の関数を手順４で書いた関数の右側に書き∫1×ex dxとします。

ここで、\(\int e^{x}dx=e^{x}+C (Cは積分定数)\)

より、結果的に$$\int xe^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+C$$

と積分することができました。

\(\log{x}\)を部分積分してみる(工夫と実践)

手順はある程度理解できたでしょうか？この項では、先ほどの”下メモ法のコツ”を意識して、

\(\log{x}\)の積分を求めてみましょう。

\(\log{x}\)の積分は公式として載っているかと思いますが、自分で導けるようにしておきましょう。

\(\log{x}\)の部分積分の問題点と工夫

さて、実際にlogxを部分積分をしようとすると、関数が１つしかないことにすぐ気付くかと思います。

これでは、上で解説した下メモ法が使えない・・・

その為、なんとか関数を２つにする方法を考えます。

すると、"logx=１×logx"にすれば全て解決することがわかります。（1をかけても被積分関数はlogxのままです)

logxの部分積分の手順１

logxを1×logxとみなして、１とlogxのどちらを微分すれば簡単な関数になるかを考えます。

(1)'=0と(logx)'=1/xを見比べると、一見（１）の方を微分したくなりますが、

そうなると手順３で紹介した(logx)の積分を知っている必要が出てきます。

・・・今logxの積分をしているのに、その答えを知っているはずがありません！

そもそも知っていれば、部分積分などしなくて良いのです。

そこで(logx)の方を微分することにし、１の積分＝xと、(logx)'=1/x を”下メモ”しておきます。

logxの積分の手順２

これまで同様に、下にメモしておくと”ハコ”のなかみが『x・1/x』となっていますね。

つまり右辺にxlogxーと書いた後に計算する、∫x・1/x dx=∫1dxとなり大変簡単に積分できます。

あとは、以下の図の通り計算していくと、

\(\begin{aligned}\int 1× \log {x} dx=x\log x-\int x\cdot \frac {1}{x}dx\\
=x\log x-\int 1dx\\
=x\log x-x\end{aligned}\)

となって、教科書などにも載っている「自然対数logxの積分＝xlogx-x+C ;Cは積分定数)が導けます。

このように、\(稀に\int f(x) dx=\int 1× f(x) dx\)
とする事で上手く計算できる事があります。

部分積分法で色々解いてみよう

ここから、実際に手を動かして、例題を解きながら部分積分の仕方を身につけます。（解説を見る前に、一度自分で解いてみてください）

(例1)：2回積分を行う（三角関数）タイプ

\(\int x^{2} \sin x dx\)

(例2)：自然対数が入ったタイプ

（例題２）：次の部分積分を計算せよ。\(\int x\log{x} dx\)

(解説１)：繰り返し部分積分

微分して簡単になるのはx²の方です。したがって、手順１の青の関数＝x²、オレンジの関数=sinxとして、部分積分を進めていきます。

∫sinxdx=-cosx (積分定数は省略）ただし計算を進めるとわかりますが、一回では積分が完了せず、もう一度部分積分する必要があります。

＜解答１＞

上の図のように、∫2x・cosx dxを再び部分積分して、式を整理すると、

＝ーx²cosx+2xsinx+2cosx+C (Cは積分定数）・・・（答）

解説２：対数関数の積分

例題１よりもこちらの方が簡単かもしれません。logxがある時点で、これを微分するほうの関数と決定できます。あとはもう一方の関数xの積分を下にメモしておきます。（∫xdx=x²/2)。

＜解答２＞

$$\int x\log{x} dx=\frac{x^{2}}{2} \log{x} -\int \frac{x^{2}}{2}× \frac{1}{x} dx$$

積分の部分のxが打ち消しあってxが残るので、

$$\frac{x^{2}\log{x}}{2}-\frac{1}{2}\int x dx$$

$$=\frac{x^{2}\log{x}}{2}-\frac{x^{2}}{4}+C$$

部分積分まとめ

さて、部分積分法にも少しは慣れてきたでしょうか？数学３、特に積分は計算の正確さと速度が重要になってくるので、類題を探して沢山の問題を解いていきましょう。

・積分する際に、”logx”があれば部分積分を考える

・∫(関数)・(関数)dx のカタチの積分では、微分して簡単になるものがないか探す

・今回学習した“部分積分”を応用した問題に”積分漸化式”があります。

次回は積分漸化式【作成済み】の具体的な問題を解説していきます。

数学Ⅲ：微積分の記事一覧へ

次回予告:(積分漸化式と微積まとめ)

「【作成済み】積分漸化式の４パターンとその解き方」

＞＞「数Ⅲで学ぶ微分・積分法とその応用の記事まとめ」＜＜

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