判別式:Dとは?【入門~基礎レベル】

<この記事の内容と対象>:「判別式:D」がイマイチ良く分からない、「d/4」はいつ使うの?と言った人に向けて、0から意味/使い道を紹介しています。

判別式:D【解説・内容理解編】

仮に、2次方程式:\(ax^{2}+bx+c=0\)(ただし、a,b,cは実数でa≠0)があるときに、\(D=b^{2}-4ac\)というものを”判別式”として紹介され、方程式の解の個数などを調べるときに使っているかと思います。(下で詳しく紹介します)

が、Dはそれだけにとどまらず、「"整数"や"高次方程式"、"いろいろな関数の方程式"」など様々な分野と融合する、”数学においてなくてはならない道具”と言えます。(ex:「二次関数の解の配置問題(応用レベル)」など)

理解があいまいな人は、必ずこの記事で理解しておいてください!

Dの式はどこから来るのか?

さて、\(D=b^{2}-4ac\) はどこから来て、なぜ解の個数を”判別”できるかについて即答できるでしょうか?その答えを「2次方程式の”解の公式”」を振り返りながら見ていきます。

”解の公式”の振り返り

\(ax^{2}+bx+c=0\)の解(x=●)を求める際、因数分解(参考:「因数分解のやり方と公式まとめ」)ができないときに『解の公式』を使います。

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

”D”の値で”解の個数”がわかる理由

ここで分子のルートの中身に注目すると、判別式:Dと同じ式になっている事がわかります。

2次方程式の解とD1

そこで、次のように書き換える事ができ、

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

分子の”プラスマイナス”の部分と、Dの値に注目すると・・

分子のプラス・マイナス

以下の図のように3パターンに”場合分け”する事が可能です。

場合分け:Dと解の公式

つまり、

・D=0なら分子のプラスマイナスは関係なくなり、『xは1個』に決まります。

・D>0ならば、\(\sqrt{D}\)も当然0より大きいので、$$x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$の2解を持つ事がわかり、『xの実数解は2個』、

・D<0のとき、\(\sqrt{負の値}\)⇔2乗して負になる値=虚数解のみを持つ=”実数の範囲”では”解を持たない”。したがって、『実数解は0個』と判別できます。

これが、Dを計算することによって(実数)解の個数がわかる理由なのです。

『D/4』の意味と使う時

教科書や参考書・問題集などでは、判別式の計算を早くするために、いわゆる『\(\frac{D}{4}\)』が広く使われています。

その仕組みをここで紹介しますが、もし”ややこしい”と思ったら無理に使う必要はありません

十分に慣れてから使う方が、曖昧なまま計算ミスをするよりはるかに良いからです。

・\(\frac{D}{4}\)を使う目安:\(ax^{2}+bx+c=0\)の【"b"が偶数】である時。

(理由:偶数を2乗すると必ず『4の倍数』になることと、(ー4ac)の部分は必ず4で割り切れるので、\(\frac{D}{4}=\frac{b^{2}-4ac}{4}\)のように、あらかじめ”4”で割っておくと計算が楽になります。)

・また、【D/4】とDの符号は必ず一致する(もっと言えば、『0か、0未満、or、0より大きい』のいずれかであるか、が分かれば良いので正確なDの値は必要ない)事が、\(\frac{D}{4}\)を使う理由です。

判別式を使う問題編(+α)

ここまで、Dを使う理由や仕組みについて紹介してきました。

ここからの「問題編」では具体的な問題を使って、”判別式の使い方”を身につけていきます。

練習問題

以下の問(一)〜(三)の2次方程式がいくつの実数解を持つのかを答えよ。

(一):\(2x^{2}+3x-1=0\)

(二):\(x^{2}+12x+9=0\)

(三):\(3x^{2}-2x+2=0\)

解説

いずれも単純に計算を進めるだけの確認問題です。

(解一):\(D=3^{2}-(4\cdot 2\cdot -1 \)=9+8=17>0 より、2個・・・(答)

(解二):問二は折角なので\(\frac{D}{4}=(\frac{b}{2})^{2}-ac\)を使って解いてみましょう。

\(\frac{D}{4}=(12/2)^{2}-9=36-9=27>0\)より、2個・・・(答)

(解三):\((-2)^{2}-(2\cdot 3)=-2<0 \)より0個・・・(答)

 

応用問題+α:虚数解について

次は、少し応用させた問題です。

係数決定・範囲の問題

この二問は解の個数を聞いているのではなく、その逆に実数解の条件から→二次関数の係数の値・範囲を問うものです。

(四):\(mx^{2}+3x-1=0 (m≠0)\)が重解を持つとき、mの値を求めよ。

(五):\(2x^{2}+nx+3n=0 \)が虚数解のみを持つ(=実数解の個数が0)の時のnがとる値の範囲を答えよ。

<解答・解説>

(解四):重解を持つ=解が"一つ"="D=0"なので、mの値は

\(D=9+4m=0\leftrightarrow m=\frac{-9}{4}\)・・・(答)

(解五):次は"nの範囲"を問われていますが、やることは変わりません。

\(D=n^{2}-4(3n)(2)<0 より、\)

\(n^{2}-24n<0 ⇔n(n-24)<0\)

したがって、\(0<n<24・・・(答)\)

判別式Dのまとめ

初めにも書きましたが、判別式は整数問題→「整数問題(実数条件からの絞り込み)」など、様々な分野に顔を出して来ます。

よく復習をして、キッチリ理解しておきましょう!

関連記事へ(方程式・解の配置・存在範囲など)

いろいろな種類の方程式・不等式について>>「高校数学で学ぶ”方程式”・”不等式”の総まとめページ

>>「(発展問題)解の配置問題とその解説

 

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