複素数平面シリーズ第6回:回転の応用、なす角+α

<この記事の内容>:これまでの複素数平面シリーズで扱ってきた『極形式』・『回転』・『図形』などを使用しながら、直線のなす角や直交する条件・共線条件を問う問題の解法・解説をします。

<これまでの復習>:「複素数平面の基礎:(1)極形式と直交形式」「(2)複素数平面での積と商・回転」(記事の最後に総まとめを作ってあります。必要に応じて、ぜひご利用ください。)

回転の復習/応用と二直線のなす角

本題の二直線のなす角の準備として、「複素数平面(二):極形式の積と商」の復習 +応用を解説します。

複素平面での回転の復習

複素数平面上の点は、

・z=α +βiのようにあらわす『直交形式』と、

・原点からの距離、および偏角argzであらわす『極形式』が存在しました。

さらに、これらの点を“原点を中心として”回転させ、また拡大/縮小させたい場合には、次のような式を使う事で点の移動先が分かるのでした。

※点A(α +βi)を原点を中心にr倍し、角\(\theta\)だけ反時計回りに回転させた先の点Bは、

$$B=A\times r(\cos \theta  + i\sin \theta$$

で求めることができる。

 

回転(原点が中心ではない場合)への応用

ここから少しだけ応用に入ります。

以下の図のような、回転の中心が原点ではない(ここでは点C)ときには、先ほどの式\(B=A\times r(\cos \theta + i\sin \theta)\)をそのまま使用することはできません。

原点ではない点Cを中心に回転する例

<図1>

そこで、一旦《点Cを原点までずらす》と言う方法を取ります。

回転の中心を点Cから原点へズラすイメージ図

<図1-2>

すると上の図のように点Aは点A‘、点Cは点O、移動先:点B→点B’となります。

これは二次関数のグラフを平行移動させるときに似ています。

原点中心に移動させて極形式で計算する図

<図1-3>

図1-3において\(B‘=A’\times r(\cos \theta + i\sin \theta)\)が成り立つので、あとはこれを先ほど図1-2でずらした分だけ戻すと、

原点へずらした影響も含めて点Bを求める式と図

<図1-4>

$$(B-C)=(A-C)(1)(\cos \theta +i\sin \theta)$$

この様に、求めたい点Bが計算できるようになりました。

定着用:応用例題

ここまでは文字だけで紹介して来たので、まだしっくり来ない人もいるかと思います。

例題を用意したので、これを解きながら手順を確認していきましょう。

例題1:以下の図のように、複素数平面上での点A(3,2)を点C(1,1)を中心として反時計回りに\(\frac{\pi}{6}(rad)\)回転させ、AC間のキョリを\(2倍\)にした時の点をBとする。この時の点Bを直交座標で表せ。

原点以外の点Cを中心に回転・伸縮させる例題1

<例題1>

定着例題の回答・解説

とにかく、\((B-C)=(A-C)(1)(\cos \theta +i\sin \theta)\)の式を利用します。

まず、点Cを代入して

$${B-(1+i)}=r(\cos \theta +i\sin \theta){A-(1+i)}$$

問題では\(\frac{\pi}{6}\)回転させて2倍した点を求めるように指示されているので、

点Aと、θ=π/6、r=2をそれぞれ代入すると、

$${B-(1+i)}=2(\cos \frac{\pi}{6} +i\sin \frac{\pi}{6}){3+2i-(1+i)}$$

後はこれを計算していくと、\(B=2\sqrt{3}+(\sqrt{3}+3)i\)と求まり、直交座標で表すと:\(点B(2\sqrt{3},(\sqrt{3}+3))\)・・・(答)

極形式によるなす角の求め方

ここまで点の回転について学んで来ましたが、少し見方を変えます。すなわち、

原点へずらした影響も含めて点Bを求める式と図

上の図では点Aから点Bへの回転を考え、$$(B-C)=(A-C)(1)(\cos \theta +i\sin \theta)$$と言う式を導きました。

逆に、直線ACと直線BCのなす角は\(\theta \)であるので、上の式の両辺を( \((A-C)\)≠0のもとで)割ってあげると、$$\frac{(B-C)}{(A-C)}=(\cos \theta +i\sin \theta)$$となります。(下の図参照)

複素数平面上でのなす角の求め方

つまり、(左辺)を計算する事で\(なす角\theta\)を求めることができるのです。

具体的な手順と練習問題

これも練習問題を通して、実際に確認しておきます。

(例題2):複素数平面上に、点A(1+2i),点B(-2-4i),点C(3+6i)の3点がある。ここで、角ACBの大きさ(直線ACと直線BCのなす角)を求めよ。

<解答2>:上の図と式の通りに計算していくだけです。

まず、\(\frac{BC}{AC}=r(cos \theta +i\sin \theta)\)

の$$(左辺)=\frac{(-2-4i)-(3+6i)}{(1+2i)-(3+6i)}=\frac{5(1+2i)}{2(1+2i)}=\frac{5}{2}$$

となって、実数のみになりました。つまり、isinθ の部分が0であることからθ=π(rad)・・・(答)であることが分かります。

このように、複素数の虚数部分がなくなって実数だけ→なす角が0(rad)かπ(rad)→3点が一直線上に並んでいる。

ということは非常に大切(以下で紹介する”共線条件”)なので、覚えておくようにしましょう。

なす角から直交/共線条件への応用

ここまでの『原点以外を中心とする回転→なす角の求め方』まで分かれば、次はこれを上手く利用して《二つの直線がどの様な関係にあるのか》を調べることができるようになります。

二直線の直交条件

共線条件と共に頻出である、直交条件について見ていきます。

直交条件

二直線が「直交している条件」=交点と2つの直線上のそれぞれの点(下図ではA,B)を考えた時、なす角がπ/2(rad)か、3π/2(rad)であること。

2直線の直交条件(イメージ)

(直交条件の問題を追記中)

共線条件とベクトル

《二直線が共線である条件=2直線上の3点が同一直線上に並ぶ=すなわちなす角がπ(rad)か0(rad)であること」》

2直線の共線条件(複素数平面バージョン)

共線条件は、すでに先ほどの例題2で紹介しているので一旦省略します。

が、”ベクトル”での共線条件の解説記事:「平面/空間ベクトルと共線/共面条件と問題の解き方」を参考として載せておきます。

なす角まとめと関連分野まとめ

今回見て来たように、$$(B-C)=(A-C)(1)(\cos \theta +i\sin \theta)$$この回転の式を上手く応用することで図形の問題がカンタンに解けてしまうことが多くあります。

この様に、数式で図形の問題を処理するためにも、

・ベクトル:「数学Bベクトルを0から解説!記事一覧

・三角関数:「三角比/三角関数とその公式などのまとめ

・複素数平面

・図形と方程式

の四つの分野を、問題に応じて使いこなせるようになりましょう!

複素数平面の解説シリーズ一覧と続編へ

前回:「複素数平面(五):アポロニウスの円

次回:「(作成中)第七回:条件を満たして動く軌跡」

(現在【複素数平面のまとめページを作成中です】)

 

今回も最後までご覧いただきまして、本当に有難うございました。

当サイト、「スマナビング!」では、読者の皆さんのご意見・ご感想や、記事リクエストの募集を行っています。コメント欄までお寄せください。

また、お役に立ちましたら、B!やSNSでシェアをしていただけると大変励みになります。

・その他のお問い合わせ/ご依頼に付きましては、お問い合わせページよりご連絡下さい。

Twitterでフォローしよう