ドップラー効果応用編

前回のドップラー効果の解説と公式の導出に続いて、今回は風が吹いていたり、音を反射する反射板が設置されているような”複雑な場合の対処法”を解説していきます。

前回の記事を読んでいない人・復習したい人は→「ドップラー効果(1)基礎編」を先にご覧ください。

ドップラー効果の公式

ここでは、今回の記事の理解に最低限必要な公式を紹介します。

\(V=f\lambda \)

$$f'=f\times \frac {V\pm v_{o}}{V\pm v_{s}}$$

ただし、V(m/s)は波の速さ、f(Hz)は振動数、λ(m)は波長、

\(v_{s}(m/s)\)を音源の速さ、\(v_{o}(m/s)\)を観測者の速さとする

風が吹いている時のドップラー効果

これまでのドップラー効果の式では無風状態を条件にしていました。ここからは、風の影響も考えて解いていきます

風には、追い風と向かい風の2種類があり、音源から観測者へ向かう風が追い風;その逆観測者から音源への風が向かい風となります。

風の速さはw(m/s)で表します。

風速によって変化するのは音速V(m/s)

音は空気によって伝わるので、風が吹く=空気が動く=音速Vが±w(m/s)変化することを意味します。

従って、「風が吹いている」と問題文にあれば、

ドップラー効果の基本式$$f'=f\times \frac {V\pm v_{o}}{V\pm v_{s}}$$

のV(分母・分子両方)に±wを加えて下さい。

例題で具体的にみていきます。

(例題1)風とドップラー効果

今、<図1>の様に音源がf(hz)の音を出しながら、静止している観測者の方へ速さv(m/s)で近付いている。

この時の音速をV(m/s)とし、風が音源から観測者の方向にw(m/s)で吹いている。

観測者が聞く音の振動数f’(Hz)を求めよ。

ドップラー効果二回(1)

<図1>

(解答解説1)

二段階で考えていきます。(立式は一回)

(1)風が音源→観測者へw(m/s)で吹いているので、基本式の分母/分子の音速V(m/s)をV +w(m/s)に書き換えます。

(2)次に前回の記事で解説した様に音源が動き、観測者に近づくので,

分母のV(m/s)から\(v_{s}\)を引きます。

(音源が近づく→fが大きくなる→分母を小さくする)

よって、(1)、(2)を合わせて、f’は、

$$f'=f\times \frac {V+ w}{V+w-v_{s}}$$

反射板が設置されている時のドップラー効果

反射板とはその名の通り、音を反射するものです。ここでは、無風状態であるとします。

反射板の2つの役割

反射板は音源から音を観測し、それを反射すると言う「観測者」と「音源」の2つの役割を同時に担います。

音源/観測者/反射板が動く時に観測者が聞く振動数

(例題2)

今、<図2>の様に音源 観測者 反射板 の順に並んでいる。

音源、観測者、反射板の3つ全てが右向きに動き、

それぞれの速度を\(v_{s}(m/s)、v_{o}(m/s)、v_{r}(m/s)\)とする。

音速がV(m/s)で風が吹いていないとするとき、

観測者が音源から聞く音の振動数\(f_{so}(Hz)\)と、観測者が反射板から聞く音\(f_{ro}(Hz)\)を求めよ。

ドップラー効果二回目(2)

<図2>

(解答解説2)

まずは、音源から直接観測する音の振動数\(f_{so}(Hz)\)を求めます。

ドップラー効果の基本式より、音源も観測者も動くから、

$$f_{so}=f\times \frac {V-v_{o}}{V-v_{s}}$$

(この式が直ぐに作れなければ一旦→ドップラー効果/音源と観測者の復習←をご覧下さい。)

次に反射板から観測者が聞く音の振動数ですが、これを求めるには二段階の計算が必要です。

まず反射板を観測者と考えて、音源から受け取る

$$音の振動数f_{sr}=f\times \frac {V-v_{r}}{V-v_{s}}$$

次に反射板を音源と考えて観測者が受け取る

$$音の振動数f_{ro}=f_{sr} \times  \frac {V+v_{o}}{V+v_{r}}$$

$$よって、f_{ro}=f\times \frac {V-v_{r}}{V-v_{s}}\times \frac {V+v_{o}}{V+v_{r}}$$

となります。

このとき真ん中の観測者は左右から異なる振動数の音を聞きます。

この振動数の差が小さい時「うなり」を聞くことになります。

続編(斜め方向のドップラー効果へ)

続編アップしました。

ドップラー効果第1回:「ドップラー効果の仕組みと公式の導出法

ドップラー効果第2回:「反射板や数が吹いている時のドップラー効果」今ここです

ドップラー効果第3回:「斜め方向のドップラー効果と演習問題

 

今回も最後までご覧いただき有難うございました。

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