ベルヌーイ分布と二項分布

〜統計学入門【三】〜

<この記事の内容>:離散型の確率分布の中でも”もっとも基本的”な『ベルヌーイ分布』と、

・ベルヌーイ試行を複数回行う際に適用する『二項分布』について、

それぞれの意味、期待値・分散・標準偏差などを解説しています。

ベルヌーイ分布とは

上述した通り、ここでは確率分布の中でも最も基礎的な、”離散型”かつ”1変数”である「ベルヌーイ分布」に付いて具体的に解説していきます。

”ベルヌーイ”の名前の由来となった、ヤコブ・ベルヌーイは確率・統計などと非常に興味深い関連があるので、ぜひ1度>>「ネイピア数e(自然対数の底)の意味/応用と数学者たちによる誕生の物語」<<をご覧ください。)

では、本題に戻ります。

ベルヌーイ試行とトランプ

今、1〜K(13)までの数字が書かれたトランプ(絵柄は一種類とする)13枚がある。

このトランプの中から一枚引いて、絵札(J、Q、K)が出たとき1ポイントもらえて、1〜10までのカードが出たときは0ポイントだとする。(この様な試行を【ベルヌーイ試行】と言います)

この試行の確率分布表は以下のようになります。

Bernoulli試行とベルヌーイ分布・表・棒グラフ

そして、この確率分布をもとに期待値、分散などを求めていきます。

ベルヌーイ分布の期待値/分散

期待値などについては、「演算子E (X),V(X),D(X)の性質や公式」も参照してください。

期待値:E[X]

期待値は確率変数・確率の総和によって求めることができ、これは『平均値』と同じ値となります。

今の例では、$$E[X]=0\times\frac{10}{13}+1\times\frac{3}{13}=\frac{3}{13}$$

これを一般化したものは、次に紹介する二項分布でのE(X),V(X)に\(n=1\)を代入すると求めることができます。

XがBe(p)にしたがうとき、(ここでのXは確率変数、”Be”はBernoulli分布の意味、pがある事象が起こる確率)

ベルヌーイ分布の\(E[X]=1\cdot p+0\cdot (1-p)\)

∴ E[X]=p

分散:V[X]

分散の定義は、(詳しくは「データの分析:分散と標準偏差 (2)」をご覧ください)

\(V[X]=E[X ^{2}]-(E[X]) ^{2}\)

\(=\{1 ^{2}p+0 ^{2}(1-p)\}-p ^{2}=p-p ^{2}\)

ではここまで学んだベルヌーイ分布を少し発展させた「二項分布」へと進みます。

二項分布とは

二項分布とは、簡単に紹介すると”ベルヌーイ試行”を繰り返した時の確率分布と言えます。

途中、”二項係数”や二項定理の知識が必要な場面が出てくるので、あやふやな方は「二項定理の基礎知識」←で解説しているので参考にしてください。

二項分布と反復試行の確率

先ほどのベルヌーイ分布と同じ題材で解説していきます。

13枚のトランプから1枚を取り出し、その数字を確認して元に戻す。

この試行を5回行ったとき、絵札を2回ひく確率を求めよ。

Bernoulli試行と二項分布への応用1(反復試行の解説)

これは、高校数学Aで学ぶ『反復試行の確率』と言うものです。

$$\underbrace{5C2}_{どの2回?}\times\underbrace{(\frac{3}{13})^{2}}_{絵札をひく確率}\times\underbrace{(\frac{10}{13})^{3}}_{それ以外の確率}$$

これを一般化してみます。(かっこの中は具体例です。上の結果と照らし合わせながら読んでください。)

一回だけ試行した時なんらかの事象(絵札をひく)が起きる確率をp( \(\left(\frac{3}{13}\right)\) )とおく。

この試行をn回行う(5回)とき、この事象が\(X=l(回)\)起こる(2回)とする。

これを下の(図3)にまとめました。

$$n\mathrm{C}l\times(p^{l})\times(1-p)^{n-l}$$

二項分布と確率質量関数(1の一般化)の解説図

上のような確率分布を”Bin(n,p)”、もしくは、”B(n,p)”で表します。(Binomial からとっています。)

二項分布の期待値/分散

ではここからは、二項分布での期待値・分散を見ていきます。

XがBin(n,p)にしたがうとき、

期待値

E[X]=np

分散

V[X]=p(1-np)

このそれぞれの導出法は、「積率母関数」の解説記事ができ次第、合わせて解説します。現在作成中。少々お待ちください)

ベルヌーイ分布と二項分布まとめ

今回学んだ内容のうち特に”二項分布”は、「正規分布(これは連続型)」につながる非常に重要度の高いものです。

初めて見た用語などもあるかもしれませんが、じっくり復習しておいてください。

統計学入門まとめ

統計学入門シリーズ

第一回:「統計学とは?イントロダクション

第二回:「確率変数と確率分布のキソ

第三回:「(今ココです)離散型確率分布の基本(ベルヌーイ&二項分布)」

第四回:「(標準)正規分布と連続確率分布

統計学・データの分析の記事一覧

最後までご覧いただきまして、有難うございました。

 

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