三角関数の公式は一種類覚えるだけ!公式の覚え方から導き方へ〜

あなたは三角関数の公式が多すぎてどう暗記して良いか分からなくなったり

テスト中にど忘れしてしまう事は無いでしょうか?

#2018/04/20一部加筆更新しました。

#2018/04/06数式を見やすくする為、LaTeXでリライトしました

#2018/04/12三角関数の公式シリーズを更新、リンクをはってページ間の移動を改善しました。

 

漢字を一つ忘れてもそんなに点数に影響しませんが、公式一つ忘れたら大惨事です。

以前の記事↓でも言及しましたが、三角関数は高校数学で最重要関数です。

三角関数の還元公式
sin(θ±π)は?もう覚えない!三角関数の還元公式のたった2step攻略法!
2018.4.5
ー三角関数連載第三回ー2018/3/9大幅に更新しました。いわゆる還元公式18種類以上を一つの方法にまとめました。...

文系でセンターのみ使う人も、理系で数3まで必要な人も必須です。

 

しかし三角関数が苦手な人はとても多いです。その原因が曖昧な公式暗記から来ている生徒さんが多いので、

この記事では、忘れず、最小の労力で、もしテスト中でど忘れしても思い出せる方法を執筆する事にしました。

三角関数の公式で覚えるべきたったひとつの公式

さて、暗記すべき公式は、“加法定理”一種類です。

加法定理も勿論導けますが、その導出そのものが入試に出る位なので、これを一々問題毎に導いて解くのは効率的では無いです。

//2018/3/30加筆::加法定理の証明を記事にしました。理屈を理解してから覚える様にして下さい。//

赤門2
最重要公式!加法定理の証明と「教科書だけで東大」のイミ
2018.4.4
加法定理の証明を通して難関大入試への心構えやメッセージを記事にしています。本当に基礎を理解して使っているのか?上辺だけの解法暗記ではないか?...

ここは語呂合わせで一気に乗り切りましょう!

加法定理

但し、(±)は複号同順です。
但し、さいた=sin コスモス=cos です。

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

$$\sin \left( \alpha \pm \beta \right) =\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $$

さいたこすもす±コスモスさいたと覚えて下さい。

cos(α±β)= cosα cosβ∓sinαsinβ

$$cos\left( \alpha \pm \beta \right) =cos\alpha cos\beta \mp \sin \alpha \sin \beta $$

コスモスコスモス∓サイタサイタと覚えてください。また±が∓に逆転している事に注意!

$$\tan \left( \alpha \pm \beta \right) =\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$$

(参考)タンぷらタンの(わる)1まいタンタン。

tanの加法定理の語呂は自分の覚えやすいものを使うと良いでしょう。

 

以上で覚えるべき三角関数の公式は終わりです。符号と語呂に注意してこれらだけは暗記しておいて下さい。

 

では次に加法定理から他の三角関数の公式を導いていきます。出来れば紙でもノートでもなんでも良いので流れを覚えるまで何度も書き写してみて下さい。

尚、今回は主にsinの時のみ扱うので cos、tanは自分で導出しておくようにして下さい!

1、加法定理から2倍角の公式を導く

sin2α=sin(α +α)=sinα cosα + cosαsinα

$$\begin{aligned}\sin \left( 2\alpha \right) =\sin \left( \alpha +\alpha \right) \\
=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha \\
=2\sin \alpha cos\alpha \end{aligned}$$

よって、sin2α=2sinα cosα

2、二倍角の公式から半角の公式を導く。

cos2α= cos2(α)-sin2(α) と、

sin2(α) + cos2(α)=1 より

cos2α=2 cos2(α)-1

ここで2α=Aと置くと、

$$\begin{aligned}cos2\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1\\
2\alpha =A\\
cos^{2}\frac {A}{2}=\frac {1+\cos A}{2}\end{aligned}$$

cos 2 (A/2)=(1+ cos A)/2

 

半角公式は少し時間がかかるので、導出に慣れたら暗記でも構いません。

3、三倍角の公式

これも加法定理より、

sin(α +2α)=sinα cos2α + cosαsin2α
=sinα{1-2sin2(α)}+2sinα{1- sin2( α)}
=3sinα–4sin3(α)

$$\begin{aligned}\sin \left( 3\alpha \right) \\
=sin\left( \alpha +2\alpha \right) \\
=\sin \alpha cos\left( 2\alpha \right) +cos\alpha \sin \left( 2\alpha \right) \\
=\sin \alpha \left( 1-2\sin ^{2}\alpha \right) +2\sin \alpha \left( 1-\sin ^{2}\alpha \right) \\
=3\sin \alpha -4sin^{3}\alpha \end{aligned}$$

よって、 sin3α=3sin–4sin3(α)

と導けます。

今回はここまでとします。

 

必ず今日の内容を自分で手を動かして再現しておいてください。

 

何度か導いていると、結果的に自然と覚えている状態になります。

 

無理してはじめから覚えるよりも、こちらの方がすっと頭に入って来ますし、冒頭にも書いたように、忘れても最悪「加法定理」だけ

覚えていれば何とかなる(それも忘れた時様に、導出の練習はしておいて下さい)

)ので、是非マスターしてください!

 

次回は、積和、和積の公式を扱います。

加筆:積和・和積の公式の記事が完成しました。以下よりご覧下さい。
積和/和積公式の覚え方を検索中の人へ!暗記厳禁な理由と対策教えます
2018.4.17
今回は三角関数の公式暗記不要シリーズ第2回です!三角関数の積和・和積公式を覚えずに導く方法を解説しています。...

今日もご覧いただき有難うございました。

 

おすすめの記事
確率漸化式入門|数学融合問題シリーズ
場合の数と確率
確率漸化式は場合の数・確率と数列の融合分野です。文系数学は勿論、数列の極限とも相性が良いので、理系数学でもよく見られる確実に攻略しておきたい...