3項間漸化式の解き方

今回は数列の漸化式の解き方/六回目として、3項間漸化式を扱います。

第一回から第五回までの漸化式の解き方は、以下の漸化式まとめページよりご覧ください!↓

漸化式の解き方の網羅記事への<「漸化式とは?その解き方全11種類まとめ」>リンク作成しました!

三項間漸化式を解く:数列漸化式(6)

・三項間漸化式の実例

・解法の流れ|特性方程式を解く

・→等比数列型へ変型する

・→2つの等比数列を解く

・→二項間漸化式が出現する

・→2つの漸化式を引いて一般解が求まる

・実例で実際に一般項を導く

・まとめと次回予告(特性方程式が重解を持ったタイプの三項間漸化式の解き方)

 

三項間漸化式の実例

その名の通り、二項が隣あっていたこれまでの漸化式の項数が3項に増えたものです。

例えば、$$ a_{n+2}+pa_{n+1}=qa_{n}の様な形です。$$

$$実例)A_{1}=3,a_{2}=7,a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n}$$

この(実例)は下の項「三項間漸化式から一般項を導く」で解説しています。

漸化式の解き方/一般項を求める流れ

・→特性方程式を解いて2解を出す

・→2解を利用して2つの等比数列型を完成させる

・→2つの等比数列の漸化式を解く

・→2つの式を引く

・→一般解が求まる

基本的な考え方は、以前解説した「等比数列帰着型の漸化式の解き方」と同じで、

何とか等比数列型にしたいというものです。

$$具体的には、 a_{n+2}+pa_{n+1}=qa_{n}の様な形を$$

$$( a_{n+2}-sa_{n+1}) =t( a_{n+1}-sa_{n}) $$

$$に変型させて、(左辺を)b_{n+1}=tb_{n}とする事が目的です。$$

$$ここで( a_{n+2}-sa_{n+1}) =t( a_{n+1}-sa_{n})を展開してみると$$

$$a_{n+2}-sa_{n+1}=ta_{n+1}-tsa_{n}となり、さらに整理すると$$

$$a_{n+2}-(s+t) a_{n+1}+( st) a_{n}=0$$

これを見て、「何かと似ている」と思いませんか?

この形は「解と係数の関係」で習う「s,tを2解とする二次方程式」そっくりです

そこで、

an+2→ x2
an+1→ x
an→ x0

とみなして方程式を作り、出てくる2解(x=s,tとする)から2つの

$$( a_{n+2}-sa_{n+1}) =t( a_{n+1}-sa_{n})式を作ります。$$

このように、各項をxの方程式に見立てたものを「特性方程式」と呼びます。

三項間漸化式の一般項を導く(実例)

実際にはじめに紹介した三項間漸化式の例を解いてみます

$$A_{1}=3,a_{2}=7,a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n}$$

$$\begin{aligned}a_{n+2}=x^{2}\\
4a_{n+1}=4x\\
-3a_{n}=-3\end{aligned}$$

x2-4x+3=0より、この特性方程式の解は、x=1,3。

この特性方程式の2解を使って、等比数列型へ帰着させます。

$$a_{n+2}-(a_{n+1}) =3( a_{n+1}-a_{n}) ・・・式1$$

$$a_{n+2}-3a_{n+1}=( a_{n+1}-3a_{n})・・・式2 $$

式1はb[n+1]=3bn、b1=A2-A1=4

$$従ってb_{n}=4\times (3) ^{n-1}$$

式2も同様に、A[n+1]ー3An=Cnとすると、

$$c_{n}=-2× (1) ^{n-1}$$

ここで、bnーcnより、

$$(a_{n+1}-a_{n}) -( a_{n+1}-3a_{n}) $$

$$2a_{n}=4\times (3) ^{n-1}-(-2) $$

$$従って、一般項a_{n}=2\times 3^{n-1}+1$$

この様にして三項間漸化式を解くことが出来ました。

ただ単にテクニック(手段)として【特性方程式】を覚えるのでは無く、

目的:「三項間型を→等比数列型へ変型する為」を理解して使う様にしましょう。

まとめと続き:三項間漸化式の”特性方程式が重解を持った”場合へ

漸化式シリーズも残り少なくなって来ました。

次回は、「3項間漸化式の解き方(下)特性方程式の解が重解になった場合」と「常用対数を活用する漸化式」を紹介します。

三項間漸化式の解き方(下)と常用対数利用型の漸化式の解き方」を作成しました。

是非続けてご覧下さい。

→「漸化式の解き方を0から分かりやすく解説!全11記事を厳選しました」←にて、

入試や模試などに必要な全ての種類の漸化式の解法を網羅しています。

 

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