ベクトルの共面条件/共線条件を利用した頻出問題と解法

ベクトルの共面条件

 

今回は、「空間ベクトルの共面条件」を実際の過去問と共に解説していきます。

共線条件と共面条件

共面条件の前に、平面ベクトルでの共線条件をおさらいしておきます。

共線条件

共線条件とは、三点が一直線上に存在するときに成立する条件の事で、

例えば点Cが直線AB上にある時、

AC=kAB  (kは実数) の様に始点(ここではA)を揃えるとACベクトルはABベクトルのk倍という式が成立します。

では共面条件はどの様な条件でしょう?

共線が共面に変わっているので、線から面へ一つ次元が上がっています。共線条件は3点が同一直線上だったので、共面条件は4点が同一平面上にある条件と言えます。

例)点Dが平面ABC上にある条件は、一次独立*なベクトルABとベクトルACを使って

(1)AD=sAB+tAC (s、tは実数)という式が成立します。$$\overrightarrow {AD}=s\overrightarrow {AB}+t\overrightarrow {AC}$$

若しくは、

(2)平面ABCの外に点Oを取った時、OD=αOA +βOB +γOC$$\overrightarrow {OD}=\alpha \overrightarrow {OA}+\beta \overrightarrow {OB}+\gamma \overrightarrow {OC}$$

但し(α、β、γは実数かつ、α +β +γ=1**)

が成立します。

因みに(1)に点Oを導入してベクトルの分解を行うと、

$$\left( \overrightarrow {OD}-\overrightarrow {OA}\right) =s\left( \overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OA}\right) +t\left( \overrightarrow {OC}-\overrightarrow {OA}\right) $$

$$\overrightarrow {OD}=\left( 1-s-t\right) \overrightarrow {OA}+s\overrightarrow {OB}+t\overrightarrow {OC}$$

(ODー OA)=s(OBー OA)+t(OCー OA)⇔

OD=(1-s−t) OA +s OB +tOC となり、

(1-s−t)=α 、s=β、t=γ と置くと

α +β +γ=(1-s−t)+s +t=1 より、(2)と一致します。

*一次独立について

一次独立とは、今回の例で言えばABとACが並行ではなく、同時にAB= AC≠0ベクトルであることを言います。

一次独立について詳しくは「ベクトルの一次独立って何?」「位置ベクトルって何?」をご覧下さい。

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**α +β +γ=1

係数の和が1の法則については、「係数和1の法則の理由」にて解説しています

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ここまでの説明では実際どの様に役に立つか分かりにくいと思うので、例題を見ていきます。

 

共面条件の例題(大阪市大他、類題多数)

 

四面体OABCにおいて辺ABを1:2に内分する点をD線分CDを3:5に内分する点をE、線分OEを1:3に内分する点をF、直線AFが平面OBCと交わる点をGとする。OA=a、OB=b、OC=c$$\overrightarrow {OA}=\overrightarrow {a},\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {b},\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {c}$$として

問1:OEをabcで表せ。

問2:AG:GFを求めよ。

(大阪市大、一部改、類題多数)

 

いわゆる典型問題です。実際に解いていきましょう!

 

問1

取り敢えず題意の図を描いて見ます。<図1>

空間ベクトルでも、出来るだけ平面ベクトルで解ける様にうまく切り出してやるのがコツです。

後は順番に内分の公式を使っていきます。

ベクトルの共面条件

<図1>

点Eは三角形ODCの辺DCを5:3に内分する点なので、

OE={3/(5+3)}・OD +{5/(5+3)}・OC

$$\overrightarrow {OE}=\frac {3}{5+3}\overrightarrow {OD}+\frac {5}{5+3}\overrightarrow {OC}$$

更に、点Dは三角形OABの辺ABを1:2に内分した点より、OD={2/(1+2)}・OA +{1/(1+2)}・OB

$$\overrightarrow {OD}=\frac {2}{1+2}\overrightarrow {OA}+\frac {1}{1+2}\overrightarrow {OB}$$

OA=a、OB=b、OC=c

$$\overrightarrow {OA}=\overrightarrow {a},\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {b},\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {c}$$より、

OE=(3/8){(2/3)a +(1/3)b}+(5/8)c

$$\overrightarrow {OE}=\frac {3}{8}\left( \frac {2}{3}\overrightarrow {a}+\frac {1}{3}\overrightarrow {b}\right) +\frac {5}{8}\overrightarrow {c}$$

∴OE=(1/4)a +(1/8)b +(5/8)c

$$\overrightarrow {OE}=\frac {1}{4}\overrightarrow {a}+\frac {1}{8}\overrightarrow {b}+\frac {5}{8}\overrightarrow {c}$$

問2

まず、AGはAFを延長した点なので当然一直線上にあるため、共線条件よりAG=kAF (kは実数)

$$\overrightarrow {AE}=k\overrightarrow {AF}$$

 

と置けます。更に、点Gは平面OBC上にあることから、共面条件の(2)係数の和1を念頭に置いて式変形して行きます。

“一旦Oを始点にした後、Aが始点になる様に変形し直す”

AG=k(OFーOA)

$$\overrightarrow {AG}=k\left( \overrightarrow {OF}-\overrightarrow {OA}\right) $$

=k(1/4)OEーkOA  問1から

$$\frac {1}{4}k\left( \frac {1}{4}\overrightarrow {OA}+\frac {1}{8}\overrightarrow {OB}+\frac {5}{8}\overrightarrow {OC}\right) -k\overrightarrow {OA}$$

=(k/4){(1/4)OA +(1/8)OB +(5/8)OC}ーkOA

$$k\left( \frac {-15}{16}\overrightarrow {OA}+\frac {1}{32}\overrightarrow {OB}+\frac {5}{32}\overrightarrow {OC}\right) $$

=k{(-15/16)OA +(1/32)OB +(5/32)OC}

$$k\left( \frac {15}{16}\overrightarrow {AO}+\frac {1}{32}\left( \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AO}\right) +\frac {5}{32}\left( \overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AO}\right) \right) $$

=k{(15/16)AO +(1/32)(ABーAO)+(5/32)(ACーAO)}

これを整理して

$$\overrightarrow {AG}=\frac {3}{4}k\overrightarrow {AO}+\frac {k}{32}\overrightarrow {AB}+\frac {5k}{32}\overrightarrow {AC}$$

AG=(3k/4)AO +(k/32)AB +(5k/32)AC

//ここで点Gは平面OBC上の点だから、共面条件の(2)より、係数和1の法則が使えます!//

従って、$$\frac {3}{4}k+\frac {k}{32}+\frac {5k}{32}=1$$

(3k/4) +(k/32)+(5k/32)=1

$$\frac {30}{32}k=1\Leftrightarrow k=\frac {16}{15}$$

⇔30k/32=1  ⇔k=16/15

$$\overrightarrow {AG}=\frac {16}{15}\overrightarrow {AF}$$

∴AG=(16/15)AF だから、

$$AF:FG=15:1$$

AF:FG=15:1 //

 

いかがでしたか?

空間ベクトルでも基本的にやっていることは平面ベクトルの時と同じで、殆どが式変形(ベクトルの分解等)で解けてしまいます。

空間図形の問題をほぼ機械的に解いていける事がベクトルの最大の強みと言えます。

今回は、解説中に関連記事の紹介リンクを貼ってあるので、分からないところが出て来たら一旦その記事を読んで戻って来てもらえると理解がスムーズに進むかと思います。

 

今回もお疲れ様でした。

 

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