ベクトル「係数和1の法則」

 

ベクトルシリーズ第4弾はベクトルの

「係数和1の法則」を解説します。

 

「係数和1の法則」とは?

例えば平面上に三点O・A・Bがある時、AB上の点をPとすると、OP=s OA+t OBで表す事ができ、

(この時OAとOBは共に零ベクトルではなく、また共に平行ではない、すなわち一次独立な必要があります)その時の係数の和s+t=1になることを言います。

この条件はベクトルのほとんどの単元を解く際に非常に役に立つのですが、なぜs+t=1になるのかがあいまいなまま使っている人も多いので、

今回は2通りの方法でその理由を示していきます。

共線条件

<図1>

係数和1の証明その一

一つ目は、<図1>にある様に、点Oから点Aを経由して点Pへ進む道のりを考えます。

→ OA+→ ABのt倍した点がPですから、→ABを→ OBー →OAと(後ろー前)に分解して整理すると、下の様になります。後は、(1-t)=sと置けば、

OP=s OA+t OB が言えます。

また、(1-t)+t=1 で(1-t)=sより、s+t=1//

 

係数和1の証明その二

その二は、内分点の公式を利用します。

図と共に解説します。

図1の様に三角形OABがある時、辺ABをm:nに内

分する点をPとします。内分点の公式より、

$$\overrightarrow {OP}=\frac {n\overrightarrow {OA}+m\overrightarrow {OB}}{m+n}$$

となります。これを$$\overrightarrow {OA}と\overrightarrow {OB}$$に分けてみると、

 

$$\frac {n}{m+n}\overrightarrow {OA}+\frac {m}{m+n}\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {OP}$$

と表せました。ここで係数部分に注目して見て下さい!

$$\frac {n}{m+n}+\frac {m}{m+n}=\frac {m+n}{m+n}=1$$

これは=1となりますね!

従って、PがAB上にある時、 $$\overrightarrow {OA}と\overrightarrow {OB}$$の係数和が1となる事が確認出来ました

これで二通りの方法で「係数和1の法則」を示す事ができました。

今回は平面ベクトルでの解説でしたが、空間ベクトルの時も同様に係数和1の法則を使って問題を解いていきます!

(空間ベクトルの場合には、ベクトル3つの係数の和になりますが、考え方は変わりません)

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