今回のテーマは重複組み合わせです!

 

場合の数の中でも難易度が高い重複組合せ

はじめに2つ質問です。

質問其の1:重複組合せは得意ですか?

質問其の2:nHrの記号を使わず問題を解いていますか?

・・・

・・・

両方ともYESだった人は問題ありません。さらっと流し読みして、記事の最後の実践問題だけは解いてみて下さい。

両方のうち1つでもNOが有ればこの記事がきっと役に立つと思います。

じっくり読み込んで得点源にしましょう!

重複組合せをかえってややこしくしているnHrは今すぐ忘れるべし!

場合の数と確率の分野には沢山の記号や公式がありますが、もしあなたがこの単元を得意にしたいなら、nCr(いわゆるコンビネーション)とn!(nの階乗)の2つ以外は使わないで下さい。

この他のPやHなどの場合の数・確率の公式は簡単な問題なら便利ですが、入試のことまで考えると逆効果です。

2つだけしか使わない事で、思考力や応用力が付くだけでなく、この問題はPを使うのかHを使うのか、、、と混乱せずに済みます。

では本題に入ります。

今回の「重複組合せ」は基本的に「区別できないものを区別できるものに分ける」という問題であり、

その解き方は○と|を使うたった1つの解法に帰着します。

??となっている人も居るかと思うので、例題を見ながら解法を習得して行きましょう。

(例題1)

(1)7個の(区別が付かない)ボールを3人に配る方法は何通りあるか。但し、一個も配られない人がいても良い。

 

(2)7個の(区別が付かない)ボールを3人に配る方法は何通りあるか。但し、全員最低一個は貰えるものとする。

 

非常によく出るタイプの問題なので、一度は目にした事があるかもしれません。一人に重複して配っても良いから重複組合せの問題と呼ばれているのですが、

先述の様に、nHrは使いません! 代わりに丸と仕切りを使った解法を紹介します。

 

丸仕切り法とは

(頻繁に出て来るのでこのサイトでは丸仕切り法と呼ぶ事にします:当然勝手に名付けたので、答案用紙に書かないでください( ̄∇ ̄))

丸仕切り法とは、配るものを丸:○で表して、○と仕切り|を置いて行く解法です。非常に応用が利くので必ず身につけて欲しいです

(この時注意が必要なのは、「丸の間に仕切りを置いて行く」のでは無く、「丸と仕切りを合計した数の部屋に◯と|を並べて行く」と考える事です。)

実際に使っていきましょう!

(例題1−1)典型的な「区別が付かないものを区別がつくものに分ける」問いです。

ちなみに、「人」に関しては、特別に何か注釈がついていない限り、「区別が付く」として扱うので注意して下さい!

丸仕切り法で、ボール7個を○に対応させて並べます。 ○○○○○○○  これを3人で分け、かつ貰えない人がいても良いので、

◯7個と仕切り2個、合わせて9個を同数の部屋に並べる場合の数を考えます。

例えば、○○|○|○○○○ だと、(2つ、1つ、4つ)配った事になります。従って、9C2=36通りが正解となります。

(1ー2)2番は、全員最低一個もらえるという部分が違うので、少しだけ先に細工をしておきます。

丸仕切り法を使う前に、3人に一個づつあげてしまうのです。そうすれば、残った4つの◯と2つの仕切りを並べるという(1)のパターンに帰着します。

丸仕切り法より、丸と仕切りを入れる場所が6カ所、仕切り2つを入れる場所を6つから選ぶので、6C2=15通りが正解となります。

丸仕切り法の応用編

(例題2)今整数の組(w、x、y、z)について、

(2−1)1≦w≦x≦y≦z≦7となる(w、x、y、z)の組は幾つあるか。

この問題が仮に1≦w<x<y<z≦7であれば、

1、2、3、4、5、6、7から4つ数字を選ぶことで、簡単に解けてしまう(7C4=35通り)のですが、

等号が入っているために同じ数字が重なる場合を考慮しないといけなくなってしまいました。

「重なる」・・・またしても重複組合せですね!

という事はもうこの記事を読んでいるあなたなら解けるはずです。丸仕切り法を使います!この時どちらを○、|、とみるかだけは間違えないで下さい!

(2-1)であれば、アルファベットの文字が丸の数に当たります。そして1〜7の数字が仕切りの数になります。

(この区別が最初のうちは付きにくいですが、もし分からなくなったら具体例で実験してみて下さい。

何度も類題を解いていると徐々に判断出来るようになります。)

従って、6つの仕切りと4つの丸を並べるので、

10C4=210通り//

(別解)この問題がややこしくなった原因は等号が入っている事でした。それならば、等号を外してやれば普通の組み合わせ問題になります。

そこで、w‘=w、x’=x+1、y‘=y+2、 z’=z+3

とおくと上手く等号が外れ、1≦w‘<x’<y‘<z’≦10

を満たす(w‘、x’、y‘、z’)の組みを求めると

「1、2、3、4、5、6、7、8、9、10」の10個の数字から4つ数字を選べば良いから、

10C4=210通り//と解く事も出来ます。

では、今日のまとめとして、実際の入試問題を解いてみましょう。(15分程度時間をとって解いてみてください)

(実践問題)

サイコロをn個同時に投げるとき、出た目の数の和がn+3になる確率を求めよ。   京大

(5分ほどで指針を決めて、思い付いたら10分で解答を作って行ってください。思い付かなければ、下の解説へ)

さて、今回も京大の過去問です。しかし、今回の記事を読んで理解出来ていれば、決して手が出ない問題では有りません!

 

<解説と略解>

サイコロn個の目の数を各々X1、X2、・・・Xnとおきます。

今サイコロは1から6までのいずれかの目が出るので、X1〜Xnの整数の組みは全部で6^n個有ります。

問題文は以下の様に式で表せます。

X1+ X2+・・・+Xk+・・・+ Xn=n+3

(1≦Xk≦6 |k=1,2,・・・n)

ここで少しだけ頭を柔らかくして、今日学んだ内容を適用出来ないか考えてみます。

 

この式は、「n+3個のボールをn人に配り、そのn人が最低1個、最大6個貰える」と読み替えることができます。

(この辺りは少し経験がものを言います)

この読み替えさえ出来れば、最初に解いた例題1-2と同じように解く事ができます!

先に1個ずつボールを配って、残った{(n+3)-n}=3個のボールをn人で分けるとすると、丸仕切り法をつかって丸3個と仕切り(nー1)個を並べる事を考えて(n-1+3)C3=(n+2)C3・・・#1

#1より(n+2)(n+1)n/6 通り。

全部で6^n通りあるから、n(n+1)(n+2)/6^(n+1)

が答えとなります。

 

まとめと場合の数全般について

重複組合せの基礎の基礎から始めて、最後は京大の問題まで進みました。

内容が濃いので、全て一回で理解出来なくても大丈夫です。

何度も記事を読み返して、類題を解いてを繰り返しているうちにどんどん得意になっていきます。

特に場合の数と確率の分野は、難関大頻出な上、差がつきやすい分野なので、ここを攻略することが出来ればかなり大きなアドバンテージを得られます。

今後もこの分野の記事を書いていくので、是非このサイトと共に成績アップして貰えれば!と思います。

続編完成!>>「重複組み合わせの応用!等式を満たす整数の組を求める方法」<<

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お疲れ様でした。

 

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