数学A整数分野:<n進法の扱い方>

今回はn進法の意味、10進法との変換、n進数での足し算/引き算/掛け算/割り算についてまとめていきます。

n進法とは?

そもそもn進法とは、n個の数字や文字で数を表す方法で、n倍すると桁が一つ上がる性質があります。

例えば、普段我々は10進法を主に使っています。そこで実際に使っている数を書き出してみると、

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9  

たしかに0〜9の10個の数字で全ての数を表しています。

他にも、コンピュータの世界では2進法が使われているのは聞いたことがあるのではないでしょうか?

こちらもやはり、0、1   の2種類の数字で処理されます。

或いは“16進法”もデジタルな世界ではよく使われます。では、16種類も数字が存在しないのにどうやって16進法をあらわすのでしょう?

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F

上記のように、なんと9の次にアルファベットのAを使って表す決まりになっています。例えば10進法で15ならば、16進法ではFと表せます。

更に身近な進数は、分秒を表す60進法や時間を示す24進法が挙げられます。

ただし、本来ならば60進法などは60種類の記号で表すべきなのですが、記号の種類が多すぎて現実的でない為、10進法で表記しています。

(この辺りに興味がある人は60進法等を調べて見て下さい。色々と興味深い歴史があります)

さて、そろそろ今回の本題「n進法と10進法、n進法の四則演算」に入ります。

10進法とn進法の相互変換

例えば7進法で「31054」と表記されても、10進法に慣れ親しんでいる我々はイマイチピンときません。そこで、

n進法で表記された数を10進法で表す。

という作業をすると具体的に分かりやすくなります。

加えて、n進法同士で計算する際も、一旦10進法にしてあげることで解きやすくなる事があります。

$$では、実際に31054_{(7)}を$$

$$10進法で表す方法を学んでいきます。$$

$$数学では、特に10進法以外で数を表す時には、$$

$$その進法を右下にかっこを付けて書いておくことが多いです$$

$$まず1桁目の4は、7進法でも10進法でも4です。$$

$$次に2桁目の5について考えて見ます。$$

$$10進法では、$$

$$1桁目が9の時、もう一つ足すと$$

$$位が上がって10となりました。$$

$$同様に7進法では、1桁目が6の時に一つ足すと$$

$$一つ位が上がって10となります。$$

$$従って7進法で2桁目が5という事は、$$

$$5回繰り上がっているので、$$

$$10進法での「7」が5つある事$$

$$と同じと考えることができます。$$

$$=7\times 5 =35$$

$$3桁目は0なので、4桁目に進みます。$$

$$4桁目は「1」です。$$

$$これは、3桁目が一回繰り上がったことを意味します。$$

$$3桁目が1回繰り上がるという事は、$$

$$2桁目が7回繰り上がった事と同じで、$$

$$それは、1桁目が7回×7回=49回繰り上がった事と同じです。$$

$$1桁目が一回繰り上がるのは7になった時なので、$$

$$まとめると、7進法表記において1000とは、$$

$$7×49回=343、$$

$$つまり10進法表記では343と同じ数字である$$

$$と言う事が出来ます。$$

$$最後の5桁目に進みます。5桁目は3、$$

$$つまり4桁目が3回繰り上がったと言う事です。$$

$$以下同様に続きます・・・$$

$$これまでの流れでだいたい分かるかと思いますが、$$

$$n進法を10進法に変えるには、$$

$$n進法の1桁目の数\times n^{0}+n進法の2桁目の数\times n^{1}$$

$$+n進法の3桁目の数\times n^{2}+$$

$$・・・+n進法のk桁目の数\times n^{k-1}$$

$$と言う操作をすれば良いのです。$$

$$これを31054_{(7)}に当てはめると、$$

$$4\times 7^{0}+5\times 7^{1}+0\times 7^{2}+1\times 7^{3}+3\times 7^{4}となり、$$

$$結果的に31054_{(7)}を10進法で表すと$$

$$4+35+0+343+7203=7585 となります。$$

10進法で表記された数をn進法で表す。

10進法を7進法へ

<図1>

次にn進法→10進法表示の逆である、10進法→n進法の変換の仕方を解説していきます。

$$<図1>に先ほどの7585_{10}を7進法に戻す方法を示しました。$$

$$(ここでは7進法にする方法を説明しますが、$$

$$その他のn進法にしたい場合には、$$

$$文章の7をnに読み替えて下さい。$$

$$具体的なやり方は、7585_{10}をn=7で$$

$$どんどん割っていきます。$$

$$7585\div 7=1083 余り4 ここで余りを右に書いて置きます。$$

$$1083\div 7 =154 余り 5  $$

$$154\div 7 =22 余り0 割り切れる(余りが0)の時も右に0と書きます。$$

$$22\div 7 =3  余り 1$$

$$3は7より小さくこれ以上は割れないのでここでstopします。$$

$$そして、最後に残った「3」→余り「1」$$

$$→一つ前の余り「0」→一つ前の余り「5」$$

$$→最初の割り算の余り「4」の順番に辿っていくと、$$

$$31054となり、たしかに元の7進法表示と一致します!$$

n進法での四則演算

n進法での四則演算(足し算/引き算/掛け算/割り算)の仕方は2通りあり、

・一旦10進法にして計算してからn進法に戻す方法

・n進法のまま筆算で解いてしまう方法

があります。当然後者の方が慣れれば早く処理できるのですが、それまではミスをしやすいというデメリットもあります。

また、割り算だけは特にn進法での筆算がやりにくいので、前者の10進法を経由する方が良いことも多いです。

n進法の足し算

$$(例1)102_{3}+201_{3}=?$$

三進法同士の足し算を例にします。ここでは十進法を経由せず直接計算していきます。

計算(筆算)の方法

3進法の足し算の筆算

<図2>

<図2>を見ながら読んでいって下さい。

まず普通の足し算と同じ様に1桁目から足していきます。2+1=3 ここで3進法は「0、1、2」で表し3になると繰り上げる決まりだったので、1桁目は0、二桁目に1が繰り上がります。

次に2桁目の数字を足していきます。先ほど繰り上がった、1+0+0=1より二桁目は1になります。

最後に3桁目1+2=3となり、1桁目と同様に繰り上がり3桁目は0、4桁目が1となり計算終了です。

よって、$$102_{3}+201_{3}=1010_{3}$$

基本的に何進法でも解き方は同じです。

n進法の引き算

引き算もn進法のまま行います。足し算と同じく筆算して行けば良いのですが、注意する点は、引かれる数より引く数が大きい場合です。

10進法では、一つ上の桁から「借りてきて」計算をします。

5進法の引き算の筆算

<図3>

同様に<図3>と共に解説していきます。

$$612_{7}-204_{7}$$

$$今回は5進法の引き算です。$$

$$はじめに2-4が出来ないので、$$

$$10進法の時と同じく2桁目の1_{7}から「7」を借りてきます。$$

$$以降は普通に筆算すれば問題ありません。$$

$$612_{7}-204_{7}=405_{7}$$

n進法の掛け算

 

5進法の掛け算の筆算

<図4>

<図4>の様に、掛け算は少しだけ複雑です。

$$204_{5}\times 311_{5}=$$

$$204_{5}\times 11_{5} は問題無いと思います。ただこれまでの筆算と同じです。$$

$$204_{5}\times 300_{5}が少し分かりにくいです$$

$$先ず、3\times 4=12 ですが、5進法の掛け算なので$$

$$12=22_{5}に変換して書き足します。$$

$$3\times 0=0よりこの桁は飛ばして、$$

$$3\times 2=6、 6を5進法に変換して、11_{5}$$

$$従って、204_{5}\times 300_{5}=112200_{5}$$

$$全て合わせると、204_{5}\times 311_{5}=$$

$$204_{5}+2040_{5}+112200_{5}となり、$$

$$204_{5}\times 300_{5}=114444_{5}が答えです。$$

n進法の割り算

割り算は、一旦十進法を経由して行う方をお勧めします。

なぜなら、先程にも書いた様に時間的にも計算ミスの危険性でも、あえてn進法同士の筆算をするメリットがあまり無いためです。

$$240_{8}\div 4_{8}=?$$

$$一旦8進法表示から10進法表示に変換します$$

$$変換方法は上のn進法→10進法で紹介した通りです。$$

$$0\times 8^{0} + 4\times 8^{1}+3\times 8^{2}$$

$$=0+32+128=160_{10}$$

$$4_{8}=4\times 8^{0}  =4_{10}$$

$$従って、160_{10}\div 4_{10}=40$$

$$よって、40を8進法に戻せば終了です$$

$$<図1>の10進法→n進法の作業をして(n=8)$$

$$40_{10}=50_{8}なので$$

$$240_{8}\div 4_{8}=50_{8}が答えになります。$$

$$慣れてくるとスピードアップするので、$$

$$ここまで丁寧に書く必要は無くなります。$$

まとめ

いかがでしたか?今回はn進法の変換と四則演算の仕方を解説しました。超頻出分野というわけでは有りませんが、重要な意味を持つ分野です。

また、主にマーク式の問題などで出題される事もあるので何度か復習して自由自在にn進法を操れる様になって下さい!

 

お疲れ様でした。

今回も最後までご覧いただき有難うございました。

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