データの分析・統計学入門第一回

<このシリーズの対象>データの分析を学習中の学生と、機械学習などで統計学の知識が必要になった社会人の方

<シリーズの主な内容>数学1「データの分析」を0から始め、数学B『確率分布と統計的な推測』とそれぞれの応用まで

数1データの分析基礎編

今回は、最も基本的なデータの分け方「平均値/最頻値/中央値」と、「四分位数・箱ひげ図の書き方」までを、例をあげながら紹介していきます。

代表値:平均値・最頻値・中央値の意味と求め方

データを表す時最もなじみ深いのが「平均値:アベレージ」だと思います。

しかし、時に平均値は実体を表すのに適切でないと思われる場合があり、その様な時に「最頻値:モード」や「中央値:メジアン」が使われます。

例えば10人の人の中で9人の貯金がゼロであっても、残りの一人が10億円の貯金があれば、この10人の平均貯金額は10億÷10=1億円となります。数学的には正しいですが、データを分析していくにあたってこれは厄介です。

そこで、「中央値」、「最頻値」が登場します。

具体的に見ていきましょう。

(例)10人の身長を調べた時、それぞれの値は以下の様になった。単位は(cm)。
160、 164、 162、 166、 172、
175、 165、 172、 170、 168

中央値medianとは

データ(今回は10人の身長)を小さい方から大きい方へ並べていったとき、丁度真ん中にあるデータの値をを「中央値(メジアン)」と言います。
しかし、今回は対象となる人数が偶数なので、丁度真ん中に当たる人がいません。

実際並べてみると、

160,162,164,165,166,168,170,172,172,175、

となり、低い方から数えて5人目の人(166cm)と、高い方から数えて5人目の人(168cm)が異なります。
このように、データが偶数(個)の場合は、この二人の身長の平均を「中央値」とします。

$$\frac {(低い方から5番目)+(高い方から5番目)}{2}$$

$$\frac{166+168}{2}=167$$

中央値小まとめ

ここで、一般化してデータの個数を2n個の場合と2n+1個の場合(ただし、nは0以上の整数)でまとめておきます。

データの個数が2n(つまり偶数の場合)、n番目とn+1番目の平均を全体の中央値(メジアン)とする。

同様に、2n+1(奇数)の場合、n番目の値を中央値とする。

(ややこしくなったら、n=2や3などを代入して考えてみてください!)

最頻値modeとは

次に、最頻値(mode;モード)とは、文字通り最もデータの数が多い(頻繁に現れる)値のことです。

160、 164 、162、 166、 172、
175、 165、 172、 170、 168

先ほどから扱っている身長のデータを見ると、"172(cm)"が二人おり、それ以外の値は全て一人なので、このデータの最頻値は172cmとなります。

四分位数と箱ひげ図

では、ここからはデータの分析の基礎となる「四部位数(しぶんいすうと読みます)」および、「箱ひげ図」の作り方を図解します。

四分位数の意味と求め方

まず『四分位数』の意味とその求め方についてです。

データの個数が”奇数”の場合と”偶数”の場合で計算が異なるので、

それぞれの場合についてイラストを使って説明していきます。

データの個数が偶数のときの四分位数

<データが偶数(個)ある場合>

上が偶数の場合、下の奇数の場合です。それぞれ、どのような所が違うのか確認しながら見ていきましょう。

データの個数が奇数のときの四分位数

<データが奇数(個)の場合>

第1四分位数とは

第1四分位数は”全体の中央値から最小値までのデータの”中央値となります。

全体のデータが偶数の時は簡単に求まりますが、奇数の時には、本来あるべき場所(上の図では、2番目と3番目)の値の平均値を第1四分位数とすることになります。

第2四分位数とは

第2四分位数は先ほど解説した”中央値”と一致するので理解しやすいと思います。

繰り返しになりますが、データが偶数個あるときには、『丁度真ん中にデータが存在しない』ので、『その左右二つの平均値を第2四分位数とする』ことだけは注意しておきましょう。

第3四分位数とは

第3四分位数も、第1四分位数の最小値が最大値に変化しただけで、求め方は変化ありません。

データが奇数個の場合に注意すべきことも同じです(図のようにデータの数が9個の時は、7番目と8番目の平均をとる)。

箱ひげ図の作り方

上の項で学んだ第1・第2・第3四分位数とデータの最大・最小値、さらに全データの平均値が用意できれば『箱ひげ図』と呼ばれる図を作成できます。

箱ひげ図の作り方と四分位数

<箱ひげ図の概要>

上の図のように、(第1四分位数から第3四分位数の間:『四部位範囲と呼びます』)の部分と、

ひげのような部分”(:第3四分位数から最大値、と、第1四分位数と最小値の間)を書き込めば『箱ひげ図』はほぼ完成です。

最後に全てのデータの平均値の場所に、+の記号を描き入れれば完成です。

上の例では、第2四分位数=中央値と、+:平均値が同じ場所になっていますが、大抵の場合それぞれの値は異なるので、+の位置はもっと右or左の方に書き込むことになります。

範囲と四分位範囲

最小値から最大値までの”ひげ”から”ひげ”までの部分を「範囲」、”箱”の部分を「四分位範囲」と呼びます。

まとめと次回分散/偏差/標準偏差へ

・主なデータの「代表値」のイミと求め方(特に中央値)に注意する

・四分位数では、データの数の偶奇によって求め方が変わる。問題を解いている途中でどちらがどちらかわからなくなったら、5、6個丸を描いて思い出す。

→○○○○○(奇数)○○○○○○(偶数)

・箱ひげ図の+:平均値と、中央値の位置関係に注意!

次回は、データの分析の中でも苦手な人が多い『分散』や『偏差』などの計算方法・意味について解説します。

データの分析と確率・統計シリーズ

・第1回:「今ここです」

・第2回:「分散・標準偏差の意味・求め方と計算のコツ

・第3回:「2変量データの関係を調べる!共分散と相関係数の意味と求め方

・第4回:「(作成中です)」

 

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