二項定理は見掛け倒し!公式の意味を理解して得点源にする方法

 

二項定理はこんなに単純!

 

二項定理は、任意の項の係数を求めるだけでなく、数学Ⅲで「はさみうちの原理」や「追い出しの原理」と共に使用して、極限の証明などで大活躍します。

この記事で二項定理を理解した後は、→はさみうちの原理と二項定理を使う極限の証明を読んでみて下さい。

二項定理と多項定理に苦手意識を持っていませんか?

二項定理/多項定理は教科書や参考書にはヤヤコシソウな文字ばっかりの公式が並んでいて、見るのも嫌だ!と思う人も多いのではないでしょうか。

更に教科書では、二項定理と多項定理は別々の公式が書いてありますが、この記事ではまず二項定理の考え方・意味を紹介し、

次回多項定理が実質的に同じものであるという事と、覚えるコツを解説していきます。

(実際には考え方が理解出来ていれば「覚える」必要すらないです。いつでも導き出せるからです。)

二項定理

早速始めます。教科書には下の様な複雑な公式が書いてあると思います。

$$\left( a+b\right) ^{n}=\sum ^{n}_{k=0}nC_{k}x^{n-k}y^{k}$$

これでは、ニガテ意識を持つ人が多いのも当然です。筆者も初めて見た時はウンザリしました。

もう少し具体的に考えてみます。

(a+b)の3乗の場合の時、実際に式を並べて展開してみると、

$$\left( a+b\right) ^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$$・・・#1 となります。

この様に3乗位ならば、展開してもそれほど大変では無いですが、4乗、5乗、・・・となると

お手上げです。また、$$\left( a+b\right) ^{9}を展開した時a^{3}b^{6}$$の係数を求めよ、などと言う問題が出題されますが、

実際に展開してa^3b^6の係数を求めていたらテストが終わってしまいます!

そこで、二項定理の公式を知っていれば、簡単に求めることができます。

しかし公式丸暗記では、忘れやすい上応用も利かなくなるので理屈を理解してもらう必要があります。

二項定理の公式に場合の数と確率のC(コンビネーション)が出てくる理由

#1の右辺の各項の係数を見ると、(1、3、3、1)

となっています。これはaの三乗を作るためには

(a+b) (a+b) (a+b)の中からa掛けるa掛けるaを

選び出すしか無く、その場合の数を求める為にCを使っているのです。この場合では1通りなので(1)・(a^3)となっています

同様に、 a ^2bの係数を考えると(a+b) (a+b) (a+b)からaを2つとbを1つ選ぶ場合の数を求めるので、C=3が係数になります

この様に、各項の係数の内、nCkの様に選び方(a,bの組み合わせの数)の部分を二項係数と呼びます

しかし、これだけでは完全ではありません

公式:( a+b) ^nの aやbに係数が付いていることがあるからです。

例:( a+2b)^n     下で実際に見てみましょう。

$$\left( a+2b\right) ^{3}の式を展開した時、ab^{2}の係数を求めよ$$

先程の式との違いはbが2bになった事だけです。

しかし、単純に3C2=3 よって3が係数 とするとバツです。何故でしょう?

当然元の式のbの係数が違うからです。では、どう計算したらいいのでしょうか?

ab ^2の係数だから、3つのカッコからa1個と2bを2個を取り出すのでその条件の下で、

ab ^2の係数は(1)a掛ける(2)b掛ける(2)bで(4)ab ^2が出来ます。

そして、その選び方が3C2=3 通り、

つまり式を展開すると4ab^2が3つ出来るので4ab ^2掛ける3=12ab ^2 よって 係数は12 が正しい答えです。

一般化すると、(二項係数)×(展開前の文字の係数を問われている回数乗した数)=問われている項の係数

となり、問われている項の事を一般項と言います。

 

まとめると、二項定理の公式は、一般項を全て足し合わした式を総和の記号であるシグマを使って書いていただけだったのです。

但し、二項定理で全て展開した項の和を問われることはほとんどないです。大体は先述の一般項を求めよという問題なので

・コンビネーションを使う意味

・展開前の文字に係数が付いている時の注意

に気を付けて解答して下さい。

いかがですか?はじめの暗号のような式に比べて少しは理解しやすくなったのではないかと思います。

次回は多項定理の解説をします。

多項定理では二項係数の部分が階乗に変化しますが、やっていることはほとんど二項定理と同じ事なので、しっかり二項定理をマスターする様にして下さい!

二項定理とはさみうちの原理を使う極限の証明

お疲れ様でした!

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