波の式の作り方

 

今回扱う波動範囲は、高校物理の中でも苦手意識をもつ人が多い分野です。

更に、その中でも波の式(波の方程式)の作り方は一見すると難しそうに感じます。

しかし、実際には解き方が決まっているので、この記事を読んでstep by step で付いて来てもらえれば、自分で波の式を作れるはずです。

波の式の作り方

 

※この記事は、力学の単振動を既に習っている事を前提にしています。

単振動を未習の方は、以下の記事で詳しく解説しているので先にご覧ください!

単振動をはじめから徹底的に解説!

では早速始めます。

波に関わる2種類のグラフ(形)の意味と用語の確認。

波の方程式ではyーtグラフとxーyグラフがよく出てきます。この2つは似て非なるものなので、

媒質の単振動のグラフ(yーtグラフ)と、波全体の瞬間のグラフ(xーyグラフ)を混同しない事が重要です。

よくある例えですが、コンサートなどでのウェーブを考えてみて下さい。

ウェーブは一人一人が立ったり座ったりして(上下に動いて)次にとなりの人も少し遅れて上下に動いて・・・という運動をしています。

それをステージなどから見ると波が起きている様に見えるわけです。

ここでの媒質は人です。人が時間timeとともに上下(y軸に平行)に運動している、これが正にyーtグラフです。

一方、ステージから見た波はその「瞬間」の波の形を表しているので時間t(time)が関係ない(xーy)グラフに当たります。

波の方程式の形の意味と作る目的

次に、見通しをよくする為に、求める波の方程式の形と‘何のために必要なのか’を先に確認しておきます。

少し難しいですが、ウェーブの例と照らし合わせて読んでみてください。

波の方程式は、y=y(x,t)の形をしています。ここでのyはシンプルにy座標です。そしてy(x,t)は、位置がx座標、時刻tでの媒質のy座標という意味です。

つまり波の方程式さえあれば、【任意の場所(x)にある媒質】(先程の例だとウェーブをしている人)が、【任意の時間(t)に】、どの【y座標(どれ位立っているか)にいるか】がわかる様になる=波を構成しているどんな媒質の運動もわかる様になる!のです。

 

y-xグラフから情報を読み取って、媒質の単振動の式を作ろう!

次に全体の波のグラフから式を作って見ましょう。初めは媒質の単振動の式を作って行きます。

先に述べた通り、媒質は上下に単振動しているので、任意の時間tでのyの位置を表す式は、振幅をA、角振動数をω、時間をtとして

$$y=\pm A \sin \omega t$$

$$y=\pm A\cos \omega t$$

y=±A sinωt または、y=±A cosωt と表せます。

ここで良くある質問のとして、符号は±どちらか?とsin/ cosのどちらを選べばいいか良くわからない!というものがあります。

step1:全体のグラフを少しずらせ!

そういう場合は、波の進行方向が与えられているのでその方向へ少しだけ「ずらして」みます

図1の様に右方向へ進む波(実線)のxーyグラフをずらすと、

波の式

<図1>

少しだけ時間が経った時、波は点線の様に見えます

この時媒質のx座標は変わらずy座標のみが動く(上下に単振動)ので、原点にいる媒質をaとすると、aは少し時間が経った後に下向きに動いています。

step2:ずらした図をもとに三角関数を選ぶ

ここで、±sin/± cosの4種類から、はじめの位置が0で下方向へ動くグラフを考えると−sinの形しかありません。

よって、aのy座標はtを用いて、$$y=-A\sin \omega t$$

y=ーAsinωt と表すことができました。

悩んだら少しずらす」考え方はとても大事なので是非身につけて使って行って下さい!

原点での媒質の式をどの位置でも使える様に一般化する

今、y=ーAsinωt で表したのは、原点でのaの運動の式で、y=y(t)の式です

我々が求めないと行けない方程式は、y=y(x、t)でした。つまり上の式には【位置xの情報が欠けている】のです。

そこで、どの位置(x)でも使える式に変える為に、式を少し改造します。

例として先ほどの図のbの運動を考えてみます。bでは、aで起きた運動が遅れて起こります。

(ウェーブを考えてみると、一番端の人が最初に立ち上がって、徐々遅れて隣の人が同じ様に立ち上がります。)

step3:「遅れ」を考慮してtの部分を変換せよ!

そこで、場所(x)での“遅れ”を考慮して、波の速さがvだから、$$y=-A\sin \omega t$$

を、$$\begin{aligned}y=-A\sin \omega \left( t-\frac {x}{v}\right) \\
\left( t\rightarrow t-\frac {x}{v}\right) \end{aligned}$$

y=ーAsinωt をy=ーAsinω(t–x/v)と書くことが出来ます。

変型した部分は、t→tーx/v で、これは原点からx離れた場所での媒質の運動は、原点で(x/v)秒「前」に起きた運動と同じこと(波の速さがvより)を表しています。

これでy=y(x,t)の式を作る事が出来ました!

これでも問題無いのですが、もう一つ、別の形の波の方程式を問われることがあります。

Tを周期、λを波長、fを振動数として、波に関する公式 v=fλ と ω=2π/T と T=1/f より、

$$v=f\lambda ,\omega =\frac {2\pi }{T},T=\frac {1}{f}$$

y=ーAsinω(t–x/v)・・・(1)

⇔y=–A sin(2π/T)(t–x/v)

$$y=-A\sin \left( \frac {2\pi }{T}\right) \left( t-\frac {x}{v}\right) $$

⇔y=ーAsin2π(t/T–x/Tv)

$$y=-A\sin 2\pi \left( \frac {t}{T}-\frac {x}{Tv}\right) $$

$$Tv=\left( \frac {1}{f}\right) \times \left( f\lambda \right) =\lambda $$

ここで、Tv=(1/f)・(fλ)=λだから、

y=ーAsin2π(t/T–x/λ)・・・(2)

$$y=-A\sin 2\pi \left( \frac {t}{T}-\frac {x}{\lambda }\right) $$

問題では(1)or(2)どちらかで答えさせるので、どちらを聞かれても導けるようにしておきましょう。

波動分野で悩んでいませんか?

冒頭にも書いた通り波動は難しいと感じやすいです。そこで、波動分野の中でも特に差が付く記事を書きましたので、是非ご覧下さい!

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