多項定理の利用

image By TED-43 - Own work, CC BY 3.0,

二項定理の記事の続編として、多項定理を解説していきます。

二項定理の記事を先に読んで頂いた方が理解がスムーズに進みます。↓よりご覧下さい。

 

多項定理を利用する

 

大学入試に於いて多項定理は、主に多項式の◯乗を展開した式の各項の係数を求める際に利用します。

(公式)$$\left( a+b+c\right) ^{n}=\sum _{p+q+r=n}\frac {n!}{p!q!r!}a^{p}b^{q}c^{r}$$

今回はカッコの中は3項の式にしています。

この式を分解してみます。この公式の意味は、

$$\left( a+b+c\right) ^{n}$$を展開した時、

$$一般項が、\frac {n!}{p!q!r!}a^{p}b^{q}c^{r}となり$$

それらの項の総和(=全て展開して同類項をまとめた式)をΣで表せるということです。

いま一般項をよくみてみると、$$\frac {n!}{p!q!r!}a^{p}b^{q}c^{r}$$

 

$$左の部分\frac {n!}{p!q!r!}は同じものを含む順列の公式と同じなのが分かります。$$

 

同じものを含む順列の復習

例題:AAABBCCCCを並べる順列は何通りあるか。

答え:まず分子に9個を別々の文字として順列を計算して(9!)、

分母に実際にはA3つとB2つ、C4つの各々は区別が付かないから、(3!2!4!)

を置いて、9!/(3!2!4!)で割って計算するのでした。

答え 1260通り

では何故同じものを含む順列の計算を多項定理で使うのでしょうか?

前回の二項定理の所でのab^2の係数の求め方を思い出すと、

コンビネーションを使って3つの式からa1個とb2個の選び方を計算しました。

$$_{3}C_{2}=\frac {3!}{2!1!}$$

多項定理では文字の選び方にコンビネーションを使うと煩雑になってしまうので、代わりに「同じものを並べる順列」を使用しています。

次に公式の右側を見てみると、各項のp乗q乗r乗(p+q+r=n)となっています。

これは先程同じものを選んだ場合の数に条件を満たす係数乗したものになっています。

(二項定理では選ぶ項の種類が二個だったので、p乗q乗、p +q=nでしたが、多項定理では選ぶ項の種類分だけ◯乗の数は増えて行きます。)

文字だけでは分かりにくいかと思うので、以下で実例を挙げます。

実際に例題を通して確認していきます。

$$\left( 2x^{2}+x+3\right) ^{3}に於いて、x^{3}の係数を求めよ。$$

多項定理の公式を使っていきますが、場合分けが必要な事に注意します。

(式)を3回並べてみましょう。

$$\left( 2x^{2}+x+3\right)\left( 2x^{2}+x+3\right)\left( 2x^{2}+x+3\right)$$

そして(式)(式)(式)

の中から、x^3となるかけ方を考えると「xを3つ」選ぶ時と、

「2x^2を1つ、xを1つ、3を1つ」選ぶ時の2パターンあります。

各々について一般項の公式を利用して、

xを3つ選ぶ時は、

$$\frac {3!}{3!0!0!}\times 2^{0}\times 1^{3}\times 3^{0}=1$$

「2x^2を1つ、xを1つ、3を1つ」選ぶ時は、

$$\frac {3!}{1!1!1!}\times 2^{1}\times 1^{1}\times 3^{1}=36$$

 

従って、1+36=37がx^3の係数である//。

ちなみに、実際に展開してみると、$$8x^{6}+12x^{5}+42x^{4}+37x^{3}+63x^{2}+27x+27$$

になり、確かに一致します。

この作業では、x^3の係数を求めましたが、最初の公式を使用すれば、一々展開しなくても任意の項の係数を求める事が出来る様になり大変便利です。

 

まとめ

・二項定理では、二項の展開しか扱えなかったが、多項定理を使う事で三項/四項/・・・とどれだけ項数があっても利用できる。

・二項定理のコンビネーションの代わりに「同じものを並べる順列」を利用する。

 

実際には、〜を展開して全ての項を書け、という問題は少なく、圧倒的に特定の項の係数を求めさせる問題が多いので今回の例題をよく復習しておいて下さい!

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