球面の方程式と球面のベクトル方程式の求め方
・この記事では、空間ベクトル最後の壁「球面の方程式」とその応用問題を解説しています。
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球面の方程式を求めよう
※「平面の方程式の求め方」の続編なので、未読の方は先にご覧下さい。
さて球面の方程式の求め方には、空間ベクトルを利用する方法が2通りあり、どちらも非常に大切なのでその仕組みを理解しておきましょう。
中心からの距離が一定を使う
球の中心から球面(球の表面)上のどの点まででも、その距離は一定＝半径rとなります。(これは、円のベクトル方程式の場合と同様です。)
＜球面とその中心＞
そこで、球面上の点Pと中心点Cの位置ベクトルを使って、球面のベクトル方程式を以下のようにあらわすことができます。
$$｜\vec {p}-\vec {c}｜=r$$
さらに、点Pの座標を(x,y,z)、点Cの座標を$$C:(c_{x},c_{y},c_{z})とすると、|x-c_{x},y-c_{y},z-c_{z}|=r$$
両辺二乗すると、絶対値が外れて
$$（x-c_{x}）^2+（y-c_{y}）^2+（z-c_{z}）^2=r ^2・・・(*1)$$
これで球面の方程式を導くことができました。
また、（*1)の式を展開して、x、y、xの係数と定数項に適当な文字a,b,c,dをおいた
$$x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0$$も球面の方程式になります。
(*1)の式は、同様の方法で求めることができる、円の方程式とそっくりです
$$【円の方程式:（x-c_{x}） ^2+（y-c_{y}） ^2=r ^2】$$
球の直径の両端とする2点とタレスの定理から導く
次は、球面上の２点が与えられ、かつその２点が球の直径の端である場合です。
＜球面上の２点＞
このとき、ABが直径の両端であることから、タレスの定理（＝円周角の定理）を使い、
点Pをベクトル方程式であらわすことを考えます。
タレスの定理とその利用
「タレスの定理」と聞くと難しそうですが、簡単に説明すると「円周角の定理」の中心角が１８０°の時のことを言います。
この定理を利用して、球面の方程式をベクトルを使って表していきます。
＜タレス（円周角の定理）と球面の方程式＞
まず、点Pへの点Aからのベクトル$$\vec{AP}$$と点Pへの点Bからのベクトル$$\vec{BP}$$がタレスの定理より
$$90°＝ \vec{AP} ⊥\vec{BP}$$であることを利用して、垂直である⇔内積は０！を思い出して
＜参考：「ベクトルの内積が分かる！ベクトル同士の掛け算の正体」＞
$$\vec{AP} \cdot \vec{BP}=0$$
変形すると、$$(\vec{p}-\vec{a}) \cdot (\vec{p}-\vec{b})=0 $$
球面のベクトル方程式はこの形でもあらわす事ができます。
球面の方程式の問題
球面の方程式と、ベクトルの関係がわかったところで関連問題を解いていきます。
方程式を求める練習問題
以下の（１）〜（３）の条件の時、それぞれの球面の方程式を求めよ。
（１）：4点P(1,1,1)、Q(2,0,1)、R(0,0,3)、S(1,2,2)が同一球面上にある時
これは、球面の方程式の一般形（x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0)に４点の座標を代入して、未知数を消していく事で解く事ができます。
未知数がa.b.c.dの４つに対して、４つの座標が与えられているので必ず解けます。（一度やってみて下さい）
A.$$ x^{2}+y^{2}+z^{2}-3x-y-5z+6=0$$
（２）点S（3,4,3）、点T（5,6,5）が球の直径の両端である時
まず、球の中心点の座標を求めるために、点S・Tの中央に位置する点の座標を求めます。
（２点は直径の両端なので、その２点の真ん中の座標は球の中心となります）
ST間の中心を点Cとおくと、$$C=\begin{pmatrix}
\frac {3+5}{2} \\
\frac {4+6}{2} \\
\frac {3+5}{2}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4 \\
5 \\
4
\end{pmatrix}$$
この作業で（x-4 )2+(y-5 )2+(z-4 )2=r2
の式のうち、r２以外が埋まり、残りの半径rは、空間座標での２点間の距離の公式によって、｜ST｜を求め、
その半分を計算することで求まります。
$$｜ST｜＝\sqrt {(5-3)^{2}+(6-4)^{2}+(5-3)^{2}}=2\sqrt {3},r=\sqrt {3}なので、$$
（x-4)2+(y-5)2+(z-4)2=３・・・（答）
（３）中心点Cの座標が（3,2,2）で、球面の方程式で「(x-5)2+(y-4)2+(z-3)2=16」と表される球に内接する時
「図形と方程式」の分野で、円と円の距離や内接・外接を学んだかと思います。この問題は、その３球体versionです。
手順は、
１；２つの球体の中心点間の距離を調べる。
２；求める球の方程式を（）２＋（）２＋（）２＝r２の形に変形する
３；大きい方の球の半径の二乗＝１６より、半径は４＝中心間の距離＋求める球の半径になる。
（解答）２球体の中心間距離は、$$\sqrt {(5-3)^{2}+(4-2)^{2}+(3-2)^{2}}=3$$
$$(x-3)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}=r^{2}と、4=3+r より、$$
$$(x-3)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}=１・・・（答）$$
球面の方程式の条件問題
球面の方程式を満たすためには、当然r＝半径が０より大きい必要があります。
r＝０の時は、球の大きさが０となり「点」に、r＜０の時は条件を満たしません。
(問題文を訂正しました)
以下の方程式のうち、球である条件を満たすものを選べ。
（１）:\(x^{2}-4x+y^{2}-6y+z^{2}-2z-1=0\)
（２）:\(x^{2}-6x+y^{2}-10y+z^{2}+2z+37=0\)
＜解答解説＞
rの値が０未満でないかチェックしていきます。
(1)を平方完成させると
(x-2)2+(y-3)2+(z-1)2=15
となって、右辺>0より球となります。
(2)同様に、平方完成すると
(x-3)2+(y-5)2+(z+1)2=-2
したがって、(右辺)＝-2<0
となって、球になる条件を満たしません。
よって（１）・・・（答）
まとめと次回（球面と接平面の方程式へ）
・球面の方程式は「x2+y2+z2 ＋ax+by+cz+d=r2」か、「(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2 ;中心点の座標が(a,b,c)の時」で表せる。
・導出法は、球面と中心の長さが一定or球の直径の端となる２点とタレスの定理を用いる
・球面の方程式のr２がそれぞれ、r＝０の時「点」/r＞0の時「球」/r＜０の時「無し」
平面・球面の方程式と法線ベクトルシリーズ
次回は、球と球の接平面（接線の平面バージョン）など、球面の方程式と法線ベクトルの応用問題を解説していきます。
・＜第一回：「平面の方程式の求め方と法線ベクトル」＞
・＜第二回：「今ここです」＞
・＜第三回：「球面どうしが交わってできる円や接平面の方程式の求め方」＞
・＜第四回：「法線ベクトルの使い方と空間図形の問題への応用」＞
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＜＜「ベクトルを得点源に！解法総まとめ記事」＞＞
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