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ネイピア数とは?eの定義と確率やファイナンスへの応用

ネイピア数って何の為にあるの?

 

第2回:ネイピア数と連続複利式〜数理ファイナンスへの応用〜:を更新しました!(ネイピア数誕生の歴史と現在どの様な役に立っているか紹介しています)

て、このサイトを見にきて下さる方は現在理工系・医歯薬系等の大学を目指している方と、学生時代の事を思い出しながら見て下さっている大人の方が多いです。

(サイトに理系科目解説と書いているので当然ですが(^_^;)

今回は学生・受験生の方には息抜きとして、大人の方には、久々に少し昔のことを思い出しつつ「教養としての数学」の読み物としてご覧下さい。

(と言いつつ割と現実世界との繋がりについても書きましたのでビジネスに繋がるかも?)

ネイピア数eの定義

 

 

ネイピア数はある日突然極限の時間に現れます!

そして特に何の説明も無く

 

$$\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac {1}{n}\right) ^{n}=e\\
\lim _{n\rightarrow 0}\left( 1+n\right) ^{\frac {1}{n}}=e\end{aligned}$$

 

上の定義を与えられて、

授業の本題は微積分へ移り、可哀想なネイピア数はただの「変な数」として入試に臨むこととなります。

しかしながら、この変な数はいくつものユニークな特徴を持っており、ありとあらゆる学問や技術の下支えをしています。

一つはexを微分してもexである事。$$\frac {e^{x}}{dx}=e^{x}$$

森羅万象を司る物理は微分方程式で記述されますが、この微分しても同じという性質により微分方程式を解く際にeは無くてはならない存在です。

 

ネイピア数と確率の問題

「とあるサッカー選手は、1/n の確率でペナルティーキックを失敗する。この選手がn回連続してPKを成功させる確率を求めよ」

n=1   これは残念ながら100%失敗します したがって0%

n=2    (1-1/2)=1/4   したがって25%成功

n=3     (1-1/3)=8/27≈30%成功

n=4   81/256≈31.6%成功

n=5   (1-1/5)5  =32.7%成功

n=6,,,疲れてきました。

n=5の時を考えると一回あたりのPK成功率は80%です。これはかなり高い数字ですね。

ではこのままn=100・1000・10000・・・の選手、

即ちほぼ100%成功させる天才キッカーならば連続成功確率は100%に近付くのでしょうか?

文字でおいて計算して見ましょう。

成功確率Pは、 lim(n→∞) (1-1/n)n  で計算できます。あれ?この式はどこかで見ましたね?

 

$$P=\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1-\frac {1}{n}\right) ^{n}$$

そうです最初のネイピア数の定義式   lim(n→∞) (1+1/n)n  =eとソックリです。

では変形させて見ましょう↓

$$-\frac {1}{n}=h とおくと n\rightarrow \infty の時,h\rightarrow 0より$$

$$\begin{aligned}\lim _{h\rightarrow 0}\left( 1+h\right) ^{-\dfrac {1}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}\left( 1+h\right) ^{\dfrac {1}{h}\cdot \left( -1\right) }\\
\simeq e^{-1}\simeq \dfrac {1}{e}\end{aligned}$$

 

以上の様に無限回行うと成功確率がほぼ100%の試行でも1/e≒37%に収束するんです!

この様に成功or失敗の2つの結果しかない試行をベルヌーイ試行と言います。

ベルヌーイ試行を使った、入試問題の解説記事を作成しました!→確率と対数の融合問題(難関大数学第2回)

math-p1
確率と対数の融合問題の解法と実践演習(2)~数学と国語力~
2018.4.3
頻出ジャンル問題の解法整理と演習を行っていきます。 今回は確率と対数の融合問題です。又国語力と入試数学について考察しています。...

ここで「確かにeは不思議だけれども、所詮現実的に収束するまで何かをする事もないし、そもそも100%近く成功するサッカー選手もいない。単なる頭の体操に過ぎないんじゃない?」

 

と思う方もいるかもしれません。しかしながら、この性質は統計学へと発展し、色々な事がらの確率を求めるのに使用されています。

今後もっとも重要になる職業と予想されるデータサイエンティストやAI関連にも不可欠なものです。

興味のある人は、二項分布やポアソンの極限定理、ポアソン分布などを調べてみて下さい。ネイピア数があちこちに姿をあらわします。

 

(大人の方へ)ビジネスの世界でも、上記のポアソン分布はよく使われています。

恐らく最近の日本でのもっとも有名な応用は、  森岡 毅氏によるUSJの再建です。

氏は統計学的手法と深い洞察/分析によって、瀕死状態だったユニバーサルスタジオジャパンを入場料を上げながら来客数を激増させるという離れ業を成功させました。

こちらも興味のある方はぜひ氏の本を読んでみて下さい。

 

統計学をはじめから学ぶ連載スタートさせました!第一回:文系出身でも!はじめから始める統計学

 

、、、記事が長くなって来たので、一旦ここで「教養としての数学」第1回は締めます。

次回は、引き続きネイピア数に触れたいと思います!

(第二回はネイピア数の応用です!プレゼント交換や金利のお話を通して、連続複利式と呼ばれる数理ファイナンスへと繋げています!)

教養としての数学第二回更新しました!!以下のリンクよりご覧下さい!

ネイピア数
もっとネイピア数!更に踏み込んだ応用:複利とe誕生のキッカケ,そして完全順列
2018.4.6
ネイピア数e(2)応用編:〜教養としての数学〜 前回の記事はとてもたくさんの反響を頂きました。貴重なコメントの中で特に紹介すべきものを 書く事と致しました。複利とeの誕生及び撹乱順列等。...

 

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モチベーションupします( ´ ▽ ` )よろしくお願い申し上げます。

 

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