ベクトルの終点の存在範囲を得意にする為に覚えるべき2step

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ベクトルの終点の存在範囲

この記事の目次

・この単元が苦手な理由を3つとそれぞれの対処法

・(1)ベクトルそのものが苦手な人とその対処法

・(2)「係数和1」の理解があやふやな場合とその対処法 ”何よりも先に「係数和1をマスター!」”

・(3)単にこの単元の解法が良くわからない場合の解説(本記事のテーマはコレです)

 

この単元もイマイチよく理解出来ずに、「苦手」になってしまう人が多いです。(そもそもベクトル自体が苦手という人が多いという事実があります、、、)

 

・(1)ベクトルそのものが苦手な人

ベクトルそのものが苦手な人は、「スカラー量(これまでの数学・算数で扱っていた数)に慣れていたのに、

突然ベクトル量(向きと大きさという2つの情報を持った数)が出てきて、戸惑っている」場合があります。その様な人は先にベクトル入門第一回の記事を読んで見て下さい。

ベクトル入門第一回

 

・(2)ベクトルの概念は分かっているが、「係数和1の法則」がしっかりと身に付いていない場合

もし、「三角形OABに於いて、AB上に点Pをとる。この時OP=OA+OB のOAとOBの係数の和が1である理由」

を聞かれた時に即答出来なければ、この記事よりも先に下の記事を読んで下さい。

(それくらい、ベクトルのあらゆる問題で使用する超重要法則・条件です

ベクトルの係数の和が1になる条件と理由

 

・(3)上2つはクリアーしたがこの単元が苦手な人はこの下の2ステップ解法を読んで下さい。

 

 

ベクトルの終点の存在範囲の問題を解く2ステップ

 

「係数和1」はしっかり理解できましたでしょうか。

では本題です。

終点の存在範囲の問題は色々有りますが、基本的に手順は決まっています。

実際に例題とともに習得していきます。

(問)、$$\begin{aligned}三角形OABに於いて\overrightarrow {OP}=s\overrightarrow {OA}+t\overrightarrow {OB}となる点Pをさだめる。係数s,tが次の様な条件を\\
満たして動く時の終点の存在範囲を表せ。2s+3t=4,s\geq 0,t\geq 0\end{aligned}$$

 

(スマートフォン等でご覧の方で、数式の右端がはみ出してしまっている場合は横に傾けて頂くと見えます。現在修正中)

 

手順その一:係数和1の法則を思い出して、何とか条件式(不等式or等式)の数字の部分を1にせよ!

Q,何故、数字の部分を1にするのか?

Ans,和1の法則のカタチに似せる様にする為です。そうすれば法則『OP=uOA+vOB (u+v=1)の時、PはAB上にある』

から、ベクトルの終点を動く線分or直線が求められるからです

 

※線分と直線の違いはしっかり理解できていますか?また、半直線と直線、有向線分等この辺りの用語が怪しい人は

ベクトル入門第1回で詳しく解説しています。

 

今回の場合は、2s+3t=4  の4の部分を1にする為に両辺を4で割ります。

すると、係数和1のカタチに近づきます。

$$\begin{aligned}\frac {s}{2}+\frac {3t}{4}=1\end{aligned}・・・#1$$

 

手順その二:各ベクトルの係数で帳尻を合わせよ!

手順1では係数和1の法則に近付ける為に、無理矢理数字の部分を1にしました。

勝手に4で割ってしまったので、それを調整する為に以下の様にベクトルの係数部分を変化させます

$$\overrightarrow {OP}=s\overrightarrow {OA}+t\overrightarrow {OB}=\frac {s}{2}\times 2\overrightarrow {OA}+\frac {3}{4}t\times \frac {4}{3}\overrightarrow {OB}$$

ここで、$$\frac {s}{2}=s',\frac {3t}{4}=t'とおくと#1よりs'+t'=1 更に\\$$

$$\begin{aligned}2\overrightarrow {OA}=\overline {OA'}\\
\frac {4}{3}\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {OB'}\end{aligned}とおく$$

$$\begin{aligned}\overrightarrow {OP}=s'\overrightarrow {OA'}+t'\overrightarrow {OB'}\\
\left( s'+t'=1\right) \end{aligned}$$

従って、点P はOAを2倍した点(A‘と置く)から、OBを4/3倍した点(B’と置く)まで動く線上にある。

s≧0、t≧0より、元々の式の係数がマイナスになることが無い(つまり外分しない)ので、

点Pは点A‘から点B’までの点より、題意を満たすものは線分A‘B‘である。//

参考までに、答えの線分を図1に示しました。

ベクトルの終点の存在範囲

<図1>

 

終点の存在範囲は、条件式の違いであと数パターンありますが、何れのパターンも今回の2ステップで解けます。残りのパターンは記事が出来次第アップします。

お疲れ様でした。

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