弦の振動/線密度/縦波と横波
＜この記事の内容＞：片側が音叉（おんさ）やスピーカー、もう一方が重りなどで固定され、両端が固定端となる「弦」の振動について、基礎から有名公式、力学とのちょっとした融合問題まで、イラストを使いながら紹介しました。
＜この記事に関係するページ＞：「開管・閉管による気柱の共鳴と振動」でも、今回と同様に縦波の振動について解説しています。あわせてご覧ください。
目次(タップした所へ飛びます)
弦の振動(準備編)
弦の振動の前に、『線密度ρ』や力学の振り返りを行います。
線密度と張力・弦を伝わる速さ
$$線密度\rho＝\frac{弦の重さ(Kg)}{弦の長さ(m)}$$
$$v＝\sqrt{\frac{T(N)}{\rho (Kg/m)}}$$
弦を伝わる速さをVとすると、上のように弦の張力Tを線密度ρ（＝弦の重さ/長さ）でわり、ルートをとることで求まります。
（単位を調べてみると、$$分母のT（N)＝T（Kg\times \frac{m}{s^{2}})、分子\rhoは\frac{Kg}{m}$$
整理して２乗を外すと確かに\(\frac{m}{s}\)となります。
音叉(おんさ)と弦の振動の問題編
ここから具体的な問題を通して、知識と解法を定着させていきます。
音叉の向きで答えが異なる【要注意】
前半の問題１と後半の問題２の違い（特に問題２）に注意しながら、基本問題の解き方を習得していきましょう。
弦の振動方向と音叉の振動方向が同じ場合
問題１：今以下の＜図１＞のように、弦の片側を『f(Hz)』で振動する音叉に、もう片方を1(Kg)の重りにつなげた。
音叉から滑車部分までの弦の長さは6(m)で、その質量は0.003(Kg)であった。
重力加速度\(gを9.8(m/s^{2})\)とするとき、次の (１)〜(４)に答えよ。
（１）：線密度ρ(Kg/m)を求めよ。
（２）：張力Tは何Nか？
（３）：弦を伝わる波の速さV(m/s)を求めよ。
（４）：おんさから滑車部分までの間に、腹が３つできた。このおんさの振動数f(Hz)を求めよ。
＜問題図１＞
解説編
問題文は長いですが、ひとつひとつ解いていきましょう。
（１）：まずは、「線密度ρ＝弦の質量÷長さ」より、\(\frac{0.003}{6}=5.0\times 10^{-4}\)
よって、\(\rho=5.0\times 10^{-4}(Kg/m)\)・・・（１）の答
（２）：次は張力です。力の矢印は書き込みませんが、mg=T で釣り合っており、m=1(Kg),g=9.8(m/s^2)であることから、\(T(N)=1(kg)\times 9.8(m/s^{2})\)
より、T=9.8(N)。・・・（２）の答
（３）：『弦を伝わる波の速さの公式』より、１と２で求めたρとTを公式に代入して、
$$V=\sqrt{\frac{T}{\rho}}=\sqrt{\frac{9.8}{5.0\times 10^{-4}}}$$
これを解くと、\(V=10\sqrt{196}=140(m/s)\)・・・（答）
（４）：いよいよ最後の問題です。
弦に腹が三つできた（下の図２参照）ということは、６mの弦が定常波の波長3/2つ分\(＝\frac{3\lambda}{2}\)であることが分かります。
よって、\(\lambda=4(m)、V=\lambda\times f \)の公式に当てはめると\(140=4\times f \)。
ゆえに、振動数：f＝35(Hz)・・・（答）
＜解答イラスト２（問４）＞
90度違う場合
上述したように、この弦の振動方向（上下方向）と、おんさの振動方向（左右）が違う場合は特によく出題され、間違えやすいので注意が必要です。
問題２：弦の長さや質量、張力などの各条件は問題１と同じで音叉のみ弦と垂直に向きを９０°変えた。このとき、弦の振動数は何Hzになるか答えよ。
解説編
解答（問題２）：これは一度やっておかないと戸惑う問題です。
横向きの音叉の場合は、弦と音叉の振動数が一致していました。
が、向きが９０°変わって、垂直になると音叉の半分の振動数が弦の振動数と同じになります。
（音叉が図２の横向きに一周期振動する間、弦は半周期分しか振動していません）
したがって、f/2=17.5(Hz)・・・（答）
定着問題
音叉の代わりに、振動数が400(Hz)のスピーカーを問１の様に取り付けると、20個の腹が出来た。
弦の長さが0.1(m)、\(線密度\rho＝5\cdot 10^{-3}(N/m)\)である時
(一)：波長λ
(二)：弦を伝わる速さV
(三)：弦にかかる張力の大きさ
をそれぞれ求めよ。
解答解説（定着問題）
解答（一),（二）：弦からスピーカーに変わっていますが、問題１と同じように解いていけば良いです。
重りの質量がわかりませんが、２０個の腹が0.1(m)の弦に出来ていることから、10波長（λ）分の長さが0.1(m)にあたります。λ＝0.01(m)
よって、V=fλより\(V=400\times 0.01 \leftrightarrow V=4(m/s)\)
解答（三)：$$V＝\sqrt{\frac{T(N)}{\rho (Kg/m)}}$$
この公式を思い出して、$$4=\sqrt{\frac{T}{5\cdot 10^{-3}}}$$
これを計算すると、張力は正なので、\(T=8.0\times 10^{-2}(N)\cdots (答)\)
弦の振動まとめ
・波動の分野の中でも、力学の知識が若干必要とされます。
・弦と波の進む方向について（今回の問１・問２）は非常によく問われるので、振動方向同じ→f同じ。
振動方向が垂直→fが半分。という事を必ず頭に入れておきましょう。
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