等式/不等式との融合問題のパターンを網羅して行きます。
前回の重複組合せ記事↓の応用例として、整数分野との融合問題を開設していきます
一度は見たことがあるはず！頻出問題
目次(タップした所へ飛びます)
重複組合せで不等式を満たす整数の組数を求める
以下の式・不等式を満たす整数x、y、zの組み合わせの数を求めよ
問１x+y+z=8：( x,y,z > 0)
問２x+y+z=8：( x,y,z≥ 0)
問３x+y+z≤8：( x,y,z≥ 0)
問４x+y+z=8：( x,y,z≥ -1)
いずれも条件式が少しずつ違っています。基本的には丸仕切り法（筆者の勝手な命名です＾＾；答案用紙には書かないで下さい）を使って解いていくので、【重複組合せに必要なたった一つの考え方】を読んでいない方は、先にそちらを読んでもらえるとスムーズに進みます。
同時に、一度は経験しておかないと模試や本番テスト中に思いつきにくい解法も紹介します。
では1つ目の問題です。
x+y+z=8 ：( x,y,z > 0)
この問題は、丸仕切り法をマスターした皆さんなら楽勝だと思いますが、、復習も兼ねて解いて見ましょう。
これは、x、y、zに8つの丸を分け与え、かつ全員が０より大きい整数、つまり１個以上の丸を貰える問題に読み替えることができます。（以降x、y、zを擬人化します）
この時、先に、一つずつ丸を配って置いて、残りの5つの丸と2つの仕切りを7つの場所に配置する組み合わせの数を求めれば良いのでした。
（ここで重要なのは、先に丸を並べておいて、丸の間と両端の６箇所から仕切りを入れる２箇所を選ぶのではない、と言う事です）
従って、７c２または同じものを並べる順列と考えて７！/(5!2!)より、２１通り//が答えとなります。
2、x+y+z=8：( x,y,z≥0)
こちらの方が最初の問題より更にやさしいはずです。条件式より、x、y、zに配る丸が０個の人がいてもいいので、先に配っておく手間が省けます。
8つの丸と２つの仕切りを１０箇所に配置するので、１０c２＝４５
こちらも、同じものを並べる順列より10!/8!2!＝４５ でも構いません。 よって４５通り//
(3)x+y+z≤8：( x,y,z≥0)
これは少し様子が違います。x、y、zの和が８以下にしなければなりません。
このままでは、丸仕切り法は使えないですし、和が３の時、４の時、５の時、、、、
なんて場合分けして計算していたら時間がかかり過ぎます。
この問題は、「一度解いておかないと初見では難しい」タイプです。
technic１：重複組合せで丸仕切り法が使えない時、ゴミ箱を設置せよ！
今日最大のポイントです。これも筆者の命名なので正式には書かないで下さいd(￣ ￣)
ゴミ箱法とは、この問いの様に「以下」が使われている時、場合分けせずに第二問と同じ解き方ができる方法です。
具体例としては、８以下なので、x＋y＋z＝５ の時、残った３つを新しい数字に入れてやる（wと置くことにします）
と、x+y+z+w=8：( x,y,z,w≥0) という問題におきかえることができます。
８個は必ず配って、余った分をゴミ箱（w）に入れる感じなのでゴミ箱法としました。
この様にwをおいてあげると、第二問の配られる人が３から４に増えただけで、丸仕切り法で解くことができます。
８つの丸を４人に配って、一個ももらえない人がいても良いので、８個の丸と仕切りが３つ。
従って１１c３＝１６５（通り）；あるいは１１！/(8!3!) でも同じ答えが出ます。
(４)x+y+z=8：( x,y,z≥ -1)
今度は−１でも良いらしいです。困りました。丸を−１個配ることなど出来ません・・・
が！
ココで今日のtechnic2;条件式を都合がいい様に改造せよ！
X’＝x＋1, Y'=y+1, Z'=z+1 と各文字に１足した文字’を作ります。
すると、X'+Y'+Z'=11：( X',Y',Z'≥0) とすることが出来ます。
具体的に見ていくと、条件が各々−１以上だったので、新しい文字に変換して１足すことによって条件が０以上となり、これまでと同様に解ける様になりました。
ただし、x、y、zに1ずつ加えているので、X'+Y'+Z'=８＋１＋１＋１＝１１
と配る数の方も１×３＝３加えることを忘れずに。ココまできたら問２と同じですね。１１個の丸と２つの仕切りより、
１３C２＝７８（通り）//同じものを並べる順列でもokです。
いかがでしたか？
整数の等式・不等式と場合の数の融合問題は今日の４題でほぼ網羅できます。
ここにない、少し条件が違うものが出題されても、ゴミ箱法や改造(工夫)したことを思い出して、問２の形にする事を考えれば糸口が見つかります！
ぜひ自分のものにして応用できる様に復習しておいて下さい。
今日もお疲れ様でした。
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