場合の数と確率超入門シリーズ第４回
場合の数と確率の入門シリーズ第四回となるこの記事では、
頻出問題である「n(nは２〜９)の倍数を何通りつくることが出来るか」という問題を通して、
・倍数の見分け方・作り方と
・場合の数の融合問題の解き方
を解説していきます。
目次(タップした所へ飛びます)
倍数の判定法と場合の数の問題
第三回の続編なので、未読の方は先に「n桁の整数や偶数を作る場合の数」をご覧下さい。
(例題：)0〜4の数字が書かれた5枚のカードから、3枚を取り出して3桁の数を作る。この数が5の倍数である時、何種類の数が作れるか。
倍数判定法まとめ
さて、◯の倍数 と言うものを判断して問題を解かなければいけない時があります。
何この数字の中から何個を選んで◯の倍数になるのは何通りか、といった問題です。(まさに今回の問題がそれですね)。
この時役に立つ倍数判定法をまとめました。
また、その方法だけでなく、成り立つ理屈も理解してもらうために、説明（簡単な証明もつけています。証明も理解しておく事で、忘れにくくなります）
２の倍数判定法：下一桁が偶数であること。
（これは説明を省きます）
３の倍数判定法：各桁の数字の和が３の倍数(3で割り切れる)である事。
この証明：
仮に、５桁の数字で考えて見ます。Abcdeと言う５桁の数は、
「a×10000+b×1000+c×100+d×10+e×1」
で成り立っています。そこで、abcdeを３でくくると、
「3×（3333a+333b+33c+3d)+a+b+c+d+e」
となり、カッコでくくった部分は３の倍数であるので、残りの『A＋b＋c＋d+e』さえ３で割れれば、abcdeは３の倍数になります。
従って、３の倍数の条件は、各桁の数字の和が３の倍数である事になります。
４の倍数判定法：下二桁が４の倍数(4で割り切れる)である事。
これも５桁の数abcdeで考えます。
証明：３の時と同様に
a×10000+b×1000+c×100+d×10+e×1
を４で括ります。すると、先ほどと同様に
abcde=4× (2500a+250b+25c+2d)+2d+e
としがちですが、これだと上手くいきません。
そこで、途中まででくくるのを止めると、
4× (2500a+250b+25c)+10d+e、
となります。【１０d＋e】というのは下二桁の数字です。
この「下二桁」が４でくくれれば（４の倍数であれば）全体を４でくくれるので、＝4の倍数条件となります。
５の倍数判定法：下一桁が０か５であること。
これは感覚的にわかるのではないでしょうか。
一応先ほどまでと同様に数字で説明しておくと、
$$a\times10000+b\times1000+c\times100+d\times10+e\times1$$
を５でくくると、５（2500a+250b+25c+2d)+ eとなり、結果的に、
abcdeが５の倍数になるには、e＝５or0である必要があります。
６の倍数判定法：２の倍数の条件と３の倍数の条件を両方満たすもの
である必要があります。
つまり、下一桁が偶数且つ、すべての桁の和が３の倍数である事です。
＜関連記事:「nの倍数になる確率を求める問題(ド・モルガンの法則と余事象の利用)」＞
７の倍数：７の倍数の判定法は一応あるのですが、かなり複雑な為ここでは省略します。
８の倍数判定法：下３桁が８の倍数(=8で割り切れる)であること。
これまで同様、8でうまく括ります。
（証明：a×10000+b×1000+c×100+d×10+e×1）
すると、
abcde=(1250a+ 125b)+ (100c+10d+e)
この１００c＋１０d＋ｅは即ち下３桁の数字で、これが８で割り切れれば、abcdeも８で割り切れます。
従って、下3桁が８の倍数であることがabcdeが８の倍数である条件となります
９の倍数判定法：各位の数の和が９の倍数（=9で割り切れる)であること。
（これは少し３の倍数の時と似ています。
証明：a×10000+b×1000+c×100+d×10+e×1を９でくくると、
9× （1111+111b+11c+d)+(a+b+c+d+e)
となり、 (a+b+c+d+e)部分が９の倍数、すなわち各位の数の和が９の倍数であれば、abcdeは９の倍数となります。
例題の解説：倍数判定法と場合の数の融合
例題は、「３桁の5の倍数を0〜9のカードから選んで作る」でした。
「3桁の5の倍数」なので、条件は、前回の例題と同様に最高位の数字が１〜9
次に、5の倍数条件は、一の位が0か5であることだったので、0は１つしか使えないことより、
場合分けして、1の位が0の時・・・（＊)
1の位が5の時・・・（＊＊)の2通りを考えます。
まず（＊)は、百の位と十の位に1〜9から2つ選んで並べるので、
$${}_9 P_2 =9\times 8＝72(通り)$$（＊＊)
一の位が5である事は確定しているので、次に最高位の数字を選びます。
このとき、0と5を除いた8通りで、十の位は、余った8通り。
よって、8× 8＝64(通り)
（＊)（＊＊)を合わせて、
72+64=136(通り)。
よって、136（通り)が答えになります。
まとめと次回予告:場合の数から確率へ〜
・今回は、各々に数字が書かれているx枚のカードからn枚を選んで整数を作る場合の数part2を学びました
・前回（場合の数と確率入門講座第三回：何通りの整数が作れるか）と違うところは、その整数が「５」の倍数であるという条件が付いていたところです
・倍数と場合の数の融合問題として頻出なので、「３〜９」までの倍数判定法を簡単な証明と共に紹介しました。
第五回目となる次回は、これまでの「場合の数」から、「確率」分野に入っていきます。この二つの違いや、基本的な確率の問題を紹介します。
(発展的な内容を学びたい人は→「場合の数と確率の解法まとめ」に移動して、興味のある分野の記事を読んで見てください。)
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