場合の数と確率超入門シリーズ第4回

 

倍数の判定法と場合の数の問題

第三回の続編なので、未読の方は先に「n桁の整数や偶数を作る場合の数」をご覧下さい。

(例題:)0〜4の数字が書かれた5枚のカードから、3枚を取り出して3桁の数を作る。この数が5の倍数である時、何種類の数が作れるか。

倍数判定法まとめ

さて、◯の倍数 と言うものを判断して問題を解かなければいけない時があります。
何この数字の中から何個を選んで◯の倍数になるのは何通りか、といった問題です。(まさに今回の問題がそれですね)。

この時役に立つ倍数判定法をまとめました。

また、その方法だけでなく、成り立つ理屈も理解してもらうために、説明(簡単な証明もつけています。証明も理解しておく事で、忘れにくくなります)

2の倍数判定法:下一桁が偶数であること。

(これは説明を省きます)

3の倍数判定法:各桁の数字の和が3の倍数(3で割り切れる)である事。

$$この証明仮に、5桁の数字で考えて見ます。$$
$$Abcdeと言う5桁の数は、$$
$$a\times10000+b\times1000+c\times100+d\times10+e\times1$$
$$
で成り立っています。$$
$$そこで、abcdeを3でくくると、$$
$$3\times(3333a+333b+33c+3d)+a+b+c+d+e$$
$$となり、カッコでくくった部分は3の倍数であるので、$$
$$残りの『A+b+c+d+e』さえ3で割れれば、$$
$$abcdeは3の倍数になります。$$

$$従って、3の倍数の条件は各桁の数字の和が$$

$$3の倍数である事になります。$$

4の倍数判定法:下二桁が4の倍数(4で割り切れる)である事。

$$これも5桁の数abcdeで考えます。$$
$$証明:3の時と同様に$$$$a\times10000+b\times1000+c\times100+d\times10+e\times1$$

$$を4で括ります。すると、$$

$$abcde=4\times (2500a+250b+25c+2d)+2d+e$$

$$としがちですが、これだと上手くいきません。$$

$$そこで、途中まででくくるのを止めると、$$

$$4\times (2500a+250b+25c)+10d+e、$$

$$となります。10d+eというのは下二桁の数字です。$$
$$これが4でくくれれば(4の倍数であれば)$$

$$全体を4でくくれるので、$$
$$条件は上の通りになります。$$

5の倍数判定法:下一桁が0か5であること。

これは感覚的にわかるのではないでしょうか。

$$一応先ほどまでと同様に数字で説明しておくと、$$
$$a\times10000+b\times1000+c\times100+d\times10+e\times1$$

$$を5でくくり、5(2500a+250b+25c+2d)+ eとなり、$$

$$abcdeが5の倍数になるには、e=5or0である必要があります。$$

6の倍数判定法:2の倍数の条件と3の倍数の条件を両方満たすもの

である必要があります。
つまり、下一桁が偶数且つ、すべての桁の和が3の倍数である事です。
7の倍数:7の倍数の判定法は一応あるのですが、かなり複雑な為ここでは省略します。

8の倍数判定法:下3桁が8の倍数(=8で割り切れる)であること。

(証明:$$a\times10000+b\times1000+c\times100+d\times10+e\times1)$$

$$やることは同じです。$$

$$8でくくると$$

$$abcde=(1250a+ 125b)+ (100c+10d+e)$$

$$この100c+10d+eは即ち下3桁の数字で、$$

$$これが8で割り切れれば$$

$$abcdeも8で割り切れます。$$

$$従って、下さん桁が8の倍数であることが$$

$$abcdeが8の倍数である条件となります)$$

9の倍数判定法:各位の数の和が9の倍数(=9で割り切れる)であること。

$$(これは少し3の時と似ています。$$
証明:$$a\times10000+b\times1000+c\times100+d\times10+e\times1$$

$$を9でくくると、$$

$$9\times (1111+111b+11c+d)+(a+b+c+d+e)となり、$$

$$ (a+b+c+d+e)部分が9の倍数、$$

$$即ち各位の数の和が9の倍数であれば$$

$$、abcdeは9の倍数となります。$$

例題の解説:倍数判定法と場合の数の融合

$$例題は、「3桁の5の倍数を0〜9のカードから選んで作る」でした。$$

 

$$「3桁の5の倍数」なので、条件は、$$

$$前回の例題と同様に最高位の数字が1〜9
次に、$$

$$5の倍数条件は、一の位が0か5であること$$

$$だったので、0は1つしか使えないので考えられる$$

$$場合分けして、1の位が0の時・・・(*)$$

$$1の位が5の時・・・(**)の2通りを考えます。$$

$$まず(*)$$

$$百の位と十の位に1〜9から2つ選んで並べるので、$$

$${}_9 P_2 =9\times 8=72(通り)$$

$$次に(**)$$

$$一の位が5である事は確定しているので、$$

$$次に最高位の数字を選びます。$$

$$このとき、0と5を除いた8通り。$$

$$十の位は、余った8通り。$$

$$よって、8\times 8=64(通り)$$

$$(*)(**)を合わせて、

72+64=136(通り)$$

$$よって、136(通り)が答えになります。$$

まとめと次回予告:場合の数から確率へ〜

・今回は、各々に数字が書かれているx枚のカードからn枚を選んで整数を作る場合の数part2を学びました

・前回(場合の数と確率入門講座第三回:何通りの整数が作れるか)と違うところは、その整数が「5」の倍数であるという条件が付いていたところです

・倍数と場合の数の融合問題として頻出なので、「3〜9」までの倍数判定法を簡単な証明と共に紹介しました。

 

第五回目となる次回は、これまでの「場合の数」から、「確率」分野に入っていきます。この二つの違いや、基本的な確率の問題を紹介します。

(発展的な内容を学びたい人は→「場合の数と確率の解法まとめ」に移動して、興味のある分野の記事を読んで見てください。)

 

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