理想気体のグラフの頻出問題を攻略！
＜この記事の内容＞：以下のような、
＜問題例（解答方法は本編で詳しく解説します）＞：次のグラフのうち正しいものはどれか。
・「理想気体において『PーVグラフ』での\(T_{1},T_{2}\)や、『V-Tグラフ』での\(P_{1},P_{2}\)、『P-Tグラフ』での\(V_{1},V_{2}\)などがそれぞれ並べてあって、正しいものを選ぶ」
という頻出問題が苦手な人を対象に、
・《状態方程式の利用と少しの変形》で確実に正答できるよう、具体的な問題を通して解説しています。
目次(タップした所へ飛びます)
理想気体とP-T/V-T/P-Vグラフ
先に、ボイル＝シャルル/ボイル/シャルルの各法則および、《理想気体の状態方程式》の知識を確認したい人は、
＞＞「状態方程式を０から解説！計算や式の意味ボイル＝シャルルの導出など」＜＜をご覧ください。
圧力Pー温度TグラフとV(体積)の比較
まず縦軸にPressure（P)横軸にTemperature（T）温度を持ってきたグラフを見てみます。
この図の正誤を判定する方法は、”『PV=nRT』を変形するだけ”です。
具体的には”数学のxーy座標”をイメージして、縦軸の”y”の代わりに”P"があり、横軸の”x”の代わりに“T”になっていることから、y＝αxのグラフを作るように、P=αTの式へとPV＝nRTを動かしていきます。
まず：P=(左辺)
にすると、
$$（右辺）＝\frac{nRT}{V}$$となり、nとRは変化しませんから（どちらも定数扱いして）αと置いてみます。
$$P=\alpha \frac{T}{V}$$
上の式から、PとTは比例関係にあることがわかるので、確かに上のPーTグラフは◯。
図中のV1/V2の上下関係の判別法
ところで、”V”の扱い方ですが、問題の図中に\(（V_{1},V_{2})\)といった2つ（以上）の直線or反比例の曲線が出てくる場合があります。
その時には『比例関係であることは変わらず意識しながら』、指定された\(V_{大},V_{小}\)を分母に代入してあげることで、
\(V_{大}\)の方が分母が大きくなる
↓
よって全体としてPの値は小さくなる
↓
二本の比例グラフのうち下側が\(V_{大}\)と判断できる。と言う風に解いていくことが出来ます。
(一例です。詳細は以下の問題編にて。)
圧力P-体積VグラフとT(温度)の比較
次に、縦軸にPressure（P)横軸にVolume（V）体積のグラフです。
同様にPV=nRTより、$$P＝\frac{nRT}{V}$$
nとRはこの場合も（どちらも定数扱いして）αと置き、
$$P=\alpha \frac{T}{V}$$
上の式から、PとVは反比例の関係にあることがわかるので、確かに上のPーVグラフは◯です。
Tの扱い方
また、図中の\(T_{1}、T_{2}\)については、上で紹介した「P-Tグラフ中のV1、V2」の判定法と同じように進めます。
体積Vー温度TグラフとP(圧力)の比較
3つ目は、縦軸にVolume（V)体積、横軸にTemperature（T）温度のグラフを見てみましょう。
もう立式の方法にも慣れて来たのではないでしょうか？(3回目です。)
PV=nRTより今度はVを（左辺）に残して、$$V＝\frac{nRT}{P}$$
nとRをαと置き、
\(V=\alpha \frac{T}{P}\)
上の式から、TとVは比例の関係にあることがわかるので、確かに上のVーTグラフは◯。
Pの扱い方
図中の\(P_{1}、P_{2}\)もこれまで通りの方法で◯×を調べます。
比例/反比例の考え方で正しいグラフを選ぶ方法【問題編】
では、ここからは上のグラフを全て合わせて、正しいものを選ぶ”具体的な”例題を紹介します。
問題:6つのグラフから正しいものを選ぶ
以下の(a)〜(f)までの六つのグラフから、正しいものを選んで答えよ。ただし、\(T_{1}>T_{2},P_{1}>P_{2},V_{1}>V_{2}\)とする。
センター試験、2次試験などでよく見るタイプの問題です。
解説と式変形の方法・考え方
ではここからは、(a)〜(f)まで、一つ一つ立式して◯×を判定していきましょう。
反比例になっている場合
(a)と(b)：反比例のグラフになっています。
実際に縦Pー横Vの軸に合わせて式を立てて、定数部分をαとおいていくと、$$P＝\frac{nR}{V}T⇔P＝\frac{\alpha}{V}T$$
従って反比例である点は(a),(b)共に正解です。
次に図中の\(T_{1},T_{2}\)の上下について考えます。
すると、\(T_{1}＞T_{2}よりT_{1}\)の方がPを大きくするので、正解は(b)・・・(答)。
比例関係の場合
(c)と(d)：先ほど上で解説したV-Tグラフです。pv=nRTから変形することで、$$V=\alpha \frac{T}{P}$$(詳細は上の項を参照してください)。
あとは\(P_{1}＞P_{2}\)を考慮するとPが大きいほど分母が大きくなり、Vが小さくなるので\(P_{2}\)が上に来る(c)が◯です。
値が一定となっている場合など
(e)と(f)は共に値が一定になっています。
縦P-横Tを見るとこれは本来、比例関係にないといけない：$$P=\frac{nR}{V}T⇔P=\frac{\alpha}{V}T$$ので、この時点で両方とも×です。
従って、(a)~(f)のうち、正しいグラフは (b)、(c) ・・・(答)
解法の4stepまとめと理論化学:気体の記事へ
この様に、グラフがたくさんあり、軸も違う上に引かれた線も2本以上あるような「一見どこから手を付けていいかわからない」問題ですが、
step1:状態方程式を変形
↓
step2:軸の2つと引かれた線の「３つ」以外を定数とおき、式を作る
↓
step3:比例・反比例を(step2の式)で判定
↓
step4:図中の曲線/直線の大小(上下関係)は変形した式から読み取る
この4つのstepで必ず正答できるので、何度か復習をしながら解法を身に付けてみてください。
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