双曲線とは?式の導出とグラフ/漸近線までイラストでわかりやすく解説

二次曲線シリーズ第2回：双曲線の特徴と式の導出

＜今回の内容＞：前回の「二次曲線と円錐の関係と『放物線』」に引き続き、今回は3つの二次曲線のうちの一つである”双曲線”の式の導き方と特徴を解説していきます。

双曲線とは

双曲線とは、円錐を上下に２つ重ねて斜めに切ると断面に現れる二次曲線で（図１参照）、その概形は下のグラフの通りです。

＜双曲線と円錐（再掲）＞

＜双曲線のグラフ1＞

双曲線の定義

双曲線の定義は、”焦点F”と”もう一方の焦点F'”の２点からの”距離の差が常に一定”である点（：ここではPとする）の軌跡ことです。(ただし、差が０の時を除きます）

双曲線の方程式の導出

では、この点Pの軌跡を導出することで双曲線の式を求めてみます。

まず、”一定の距離”を2aとします。

さらに焦点Fの座標を(f,0),F'の座標を(-f,0)とする(ただしf>a>0)と、PFとPF'の差が常に2aであれば良いので、『図形と方程式』の“軌跡の求め方”の要領で、Pを（x,y）とおくことで次の式が成り立ちます。

|PF-PF'|=2a

$|\sqrt{(x-f)^{2}+(y-0)^{2}}-\sqrt{(x+f)^{2}+(y-0)^{2}}|=2a$

ここで絶対値をとっているのは、PF＜PF'の場合でも距離＞０を取るためです。

上の式を変形していきます。

まず、絶対値を外した上で一方のルートを右辺に、残りを左辺に移行して２乗をすると、

$\sqrt{(x-f)^{2}+(y)^{2}}-\sqrt{(x+f)^{2}+(y)^{2}}=\pm 2a$

$(左辺)=\sqrt{(x-f)^{2}+(y)^{2}}\mp 2a$

$(右辺)=\sqrt{(x+f))^{2}+(y)^{2}}$

より、

$(x-f)^{2}+y^{2}\mp 4a\sqrt{(x-f)^{2}+y^{2}}+4a^{2}$

$=(x+f)^{2}+y^{2}$

まだルートが残っているので、このルートの部分だけ右辺へ移項した上で式を整理していきます。

$(左辺)=(x-f)^{2}+y^{2}+4a^{2}-(x+f)^{2}-y^{2}$

$(右辺)=\pm 4a\sqrt{(x-f)^{2}+(y-0)^{2}}$

左辺は綺麗に打ち消しあって、$a^{2}-fx=\pm a\sqrt{(x-f)^{2}+y^{2}}$

となるので、もう一度ルートを外すために二乗します。

すると、$a^{4}-2a^{2}fx+f^{2}x^{2}=a^{2}(x^{2}-2fx+f^{2}+y^{2})$

ゆえに、$a^{4}+f^{2}x^{2}=a^{2}x^{2}+a^{2}f^{2}+a^{2}y^{2}$

ここから少し慣れが必要かもしれません。

（とりあえず次の項で紹介する『双曲線の式』を目指して変形していきます。)

$x^{2}(f^{2}-a^{2})=a^{2}(f^{2}-a^{2})+a^{2}y^{2}$

ここで、はじめにf>a>0だったので、$(f^{2}-a^{2})>0;で両辺を割ります$

$$x^{2}=a^{2}+\frac{a^{2}y^{2}}{f^{2}-a^{2}}$$

これを更にaの二乗で割ることによって、我々が知っている双曲線の方程式にかなり近づきました。

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{f^{2}-a^{2}}=1$$

最後に、$f^{2}-a^{2}=b^{2}$(bは実数)と置くことで、 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$

となって、双曲線の式が導けました。

双曲線のグラフと式

上の項で導出したように、双曲線の式は $$\frac {x^{2}}{a^{2}}-\frac {y^{2}}{b^{2}}=\pm1$$ で表されます。

(今回紹介したのは、右辺が1の双曲線でしたが、右辺が-1の場合も同様の考え方で導くことが可能です。)

焦点の座標

そして、その焦点の座標は、

・右辺＝1の場合（すなわち以下の図１のように双曲線がx軸の正方向と負方向に開いている場合）$F(\sqrt{a^{2}+b^{2}},0),F'(-\sqrt{a^{2}+b^{2}},0)$

さらに

・右辺＝-1の場合（今度は図２のように双曲線がy軸正・負方向に開いている場合）$F(0,\sqrt{a^{2}+b^{2}}),F'(0,-\sqrt{a^{2}+b^{2}})$

となります。

これは、はじめに焦点Fの座標を(f,0)としたので、$f^{2}-a^{2}=b^{2}$(bは実数)より$f^{2}=a^{2}+b^{2}$ここでルートを取ることによって、$f=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$から求めることができます。

＜双曲線のグラフ:右辺が１の場合＞

＜双曲線のグラフ:右辺が-1の場合＞

漸近線など双曲線の特徴

双曲線には、図にも書いていますが”漸近線”(読みは『ぜんきんせん』です)という直線が２本引けます。

これは、双曲線を伸ばし続けた時に限りなく近づく直線で、2パターンのうちどちらも $$y=\pm\frac{ax}{b}$$ という式で表せます。

双曲線のまとめと次回「楕円」へ

・双曲線の定義は「２つの焦点の距離の差が一定の点の軌跡」である

・方程式/焦点/頂点はそれぞれ右辺の±1に応じて1つずつある

・漸近線は、どちらのパターンでも共通で「 $$y=\pm\frac{ax}{b}$$ 」で表すことが出来る

次回は、3つ目の二次曲線「楕円」の式の導出・面積公式、接線の求め方について紹介していきます。

二次曲線シリーズと楕円へ

第1回：「二次曲線と円錐の関係と『放物線』」

第2回：「双曲線のグラフと方程式の定義・導出（今ここです）」

第3回：「楕円のグラフと式・面積公式と接線」

今回も最後までご覧頂き、有難うございました。

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