条件付き確率の攻略

<この記事の内容>この記事では、確率の中でも特に苦手意識を持っている人が多い「条件付き確率」について、その公式と、考え方を実際に例題を解きながら身につけていきます。

条件付き確率の攻略

いきなりですが、例題を挙げてみます。

例題1(条件付き確率の基本問題)
「ハズレクジが5本、当たりクジが2本入った抽選箱から1本ずつクジを引く。 2本目がハズレの時、1本目もハズレの確率を求めよ。但し、引いたクジは箱に戻さないものとする。」

 

上の例題文にある様に、「♦♦」の時「〇〇」である確率を求めよ

と言う様なタイプの文章が出て来たら、条件付き確率の問題である事が殆どです。

条件付き確率の式

1本目がハズレの確率をP(A)・2本目がハズレの確率をP(B)と置くと、1本目も2本目もハズレの確率はP(A∩B)、

そして問題の条件付き確率をPB(A)として、PB(A)=P(A∩B)/P(B)・・・(✳︎)で表わされます。

この(✳︎)の式を条件付き確率の問題では多用します!

以下の意味を理解した上で、いつでも書けるようになっておきましょう!

条件付き確率:PB(A)=P(A∩B)/P(B)・・・(✳︎)の式の意味

条件付き確率の式の意味

Bという条件の下で、Aである条件付き確率PB(A)は、分母(=全体)にBがおきる確率P(B)、分子にAとBが共に起きる確率P(A∩B)を置いた数と同じである。

この意味だけでは?な人も多いと思うので、具体的に例題1を解きながら、詳しくみていきます。

問題をおさらいしておくと、

「ハズレくじが5本、当たりくじが2本入っている箱の中から2回連続でくじを引いて、2回目がハズレ」の時、「1回目に引いたくじもハズレである確率を求めよ」(*一度引いたクジは箱に戻さない)

だったので、PB(A)=P(A∩B)/P(B)を思い出して

P(B):「2回目にハズレくじを引く確率」は、

1本目当たり→2本目ハズレの確率と、1本目ハズレ→2本目ハズレの確率の和なので、

P(B)=(2/7)・(5/6)+(5/7)・(4/6)=30/42

P(A∩B)は、1本目ハズレ→2本目ハズレの確率なので、P(A∩B)=(5/7)・(4/6)=20/42

より、PB(A)=(20/42)/(30/42)=2/3

よって、2本目がハズレの時1本目もハズレの確率は2/3である。//

ここではあえてP(B)とP(A∩B)について約分していません。

これは、PB(A)を求める際に分母、分子の42が共に消えるからです。(下手に約分してしまうとかえって計算がややこしくなる)

この様に、一見難解そうな条件付き確率の式ですが、「一つ一つ日本語に翻訳」してあげる事で単なる分数の計算になります。

原因・不良品の確率に進みます(やや難)

例題2(原因の確率)

同じ製品を作る工場が2つある。C工場で不良品が発生する確率は3%、 D工場では不良品発生率が8%である。
この製品の製造の9割をC工場、残りの1割をD工場で行なっている。
これらの製品のうち1つを選んだ時それは不良品であったとき、この不良品がD工場で製造された確率を求めよ。

いわゆる「原因の確率」、「不良品の確率」などと呼ばれる問題です。

似た様な類題として、「忘れ物をした場所の確率」を求めさせたり、「検査結果の陽性・陰性の正確さ」などを題材にしたものが多く出題されています。

これらの問題は、統計学に繋がって行く大変重要なものなのですが、それだけ理解しづらい生徒が多い所でもあります。

しかし、先ほどから使っている「条件付き確率の式」を上手く使えば必ず解ける=差が付く分野なので是非マスターしましょう。

step1:条件付き確率の式を立てる

不良品を選ぶ確率をP(E)、D工場で製造された製品を選ぶ確率をP(D)、選んだ製品が不良品でかつD工場で製造された確率をP(D∩E)。

更に、製品が不良品である時にそれがD工場で製造された「=題意の条件付き確率」をPE(D)とおく。

条件付き確率の式:(✳︎)より、PE(D)=P(D∩E)/P(E)

ここで、一旦つまる生徒が多いです。それはP(E)が少し求め辛いからです。

step2:全体の不良品を選ぶ確率を求める

その場合この様に考えます。P(E)は不良品を選ぶ確率だから、

P(E)は"D工場の製品を選んでそれが不良品である確率"と、

D工場以外(つまり"C工場)の製品を選んで、その製品が不良品である確率"のである。

従って、P(E∩D)=P(D)・PD(E)と、P(E∩C)=P(C)・PC(E)の和がP(E)である。

P(E)= P(E∩D)+P(E∩C)

よって、9/10・3/100=27/1000(これはC工場で不良品が製造される確率)

1/10・8/100=8/1000(これは、D工場で不良品が製造される確率)

よってP(E)=35/1000

すなわち、P E(D)=(8/1000)/{(35)/1000}

従って、製品を選んだ時その製造元が工場Dである条件付き確率は(8/35)である。

直感に反する?条件付きの確率まとめと統計学へ

この様に、選び出した不良品が工場Cで製造された可能性の方が、工場Dで製造された可能性より3倍以上大きいですが、不良品率C:D=3:8に惑わされると不思議に感じる人も少なからずいます。

原因は製造数が工場Cが圧倒的に多い為、不良品の絶対数も多いという単純なものです。

ちなみに、今回扱った条件付き確率は大学以降の統計学を学ぶ際、「ベイズの定理」という重要な定理に出現するほか、『ベイズ統計学』の分野で頻繁に現れます。近年では、これらを使って様々な予測や分類などに用いられています。(近々記事を作成予定)

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