数列漸化式の解き方第4回

 

今回は、少しだけ変わり種?数列の和SnとAnが等式で結ばれた場合の一般項の導出の仕方を解説していきます。

一度経験していないと難しいものも含まれますので、しっかり解法をstockしましょう。

(因みに今回で漸化式の解き方シリーズの折り返し地点です!)

これまでの数列の漸化式の解き方シリーズ

第一回|等差/等比/階差数列型

第二回|A[n+1]=p An+q型(等比数列帰着型)

第三回|階差数列帰着型:A[n+1]=An+nの式

数列の漸化式の解き方総まとめ(第1回〜第8回)

Snが含まれる式から一般項を導く

・数列の和とΣ公式の復習

・SnとAn

・Sn=(nの式)型

・Sn=(An +nの式)型

・まとめと次回予告

数列の和とΣ公式

今回は、数列の和SnとΣ公式をよく使うので、曖昧な部分がある人は、先に以前の数列の和とΣ公式のまとめ←で復習をしておいて下さい。

SnとAnの関係

今回よく使う数列の和Snと数列の一般項Anとの関係にを2つ紹介します。

$$⑴S_{1}=a_{1}・・・これは当然ですね、$$

$$第一項までの和と第一項が同じという事$$

$$を言っているだけです。$$

$$⑵S_{n}-S_{n-1}=a_{n}・・・これはどうでしょうか?$$

$$n項目までの和ー(n-1項目)までの$$

$$和を引くとAnになります。$$

Sn=A1 + A2 +・・・ + A[n-1]+An

ーS[n-1]=A1 + A2 +・・・ A[n-2]+A[n-1]

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=SnーS[n-1]=An

この式はSn=(nの式)の場合に使う事が多いです。

Sn=(nの式)型で表される数列の一般項

$$Sn=nの式のパターン$$

$$S_{n}=n^{3}+n+1、A1=2の様に、数列の和がn$$

$$で示されている場合は上のSn-S[n-1]を使います。$$

$$S_{n}-S_{n-1}=a_{n}=$$

$$\left( n^{3}+n+1\right) -\left\{ \left( n-1\right) ^{3}+\left( n-1\right) +1\right\} $$

$$a_{n}=n^{3}+n+1-\left( n^{3}-3n^{2}+3n-1+n-1+1\right) $$

$$a_{n}=3n^{2}-3n+2$$

$$Sn-1を使っているので、A1が一般項に1を代入$$

$$したものと同じかチェックして$$

$$違う場合は、a1とan(2≧n)に場合分けして解答します。$$

$$今回はanのnに1を代入してチェックすると$$

$$時a1=2で同一なので場合分けの必要は有りません$$

$$従って、一般項a_{n}=3n^{2}-3n+2$$

Sn=An+(nの式)型の数列の一般項の求め方

$$Sn=An+( nの式)のタイプ$$

S[n+1]ーSn=A[n+1]を利用して先にA[n+1]とAnの漸化式を作ってから解いていく形になります。

実際に見てみましょう。

$$(例題2)S_{n}=3a_{n}+3n+1$$

$$S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}=$$

$$\left\{ 3a_{n+1}+3\left( n+1\right) +1\right\} -\left( 3a_{n}+3n+1\right) $$

$$展開してa_{n+1}=3a_{n+1}+3n+4-3a_{n}-3n-1$$

$$整理すると\begin{aligned}2a_{n+1}=3a_{n}-3\\
a_{n+1}=\frac {3}{2}a_{n}-\frac {3}{2}\end{aligned}$$

$$ここで、等比数列帰着型を使います$$

等比数列帰着型の漸化式の解き方については左のリンクよりご覧下さい。

$$\left( a_{n+1}-3\right) =\frac {3}{2}\left( a_{n}-3\right) $$

$$\begin{aligned}S_{1}=a_{1}=3a_{1}+3+1\\
\Leftrightarrow a_{1}=-2\end{aligned}$$

$$ここでb_{n}=a_{n}-3,b_{1}=-5とおいて$$

$$b_{n+1}=\frac {3}{2}b_{n},b_{1}=-5より$$

$$b_{n}=\left( -5\right) \left( \frac {3}{2}\right) ^{n-1}$$

$$従って、一般項a_{n}=3-5\left( \frac {3}{2}\right) ^{n-1}$$

まとめと次回予告

第四回目の今回はSnを「ずらして」A[n+1]やAnを作り出し、一般項を導出しました。

次回(第五回)からは、漸化式中にn乗を含むタイプや、Anが分数の分母にある場合等の漸化式の解き方を解説していきます。

続編出来ました!

数列の漸化式の解き方第五回:n乗型と分数型

 

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今回も最後までご覧いただき有難うございました。

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