積分法と面積をはさみうちで示す

数学Ⅲの範囲も極限→微分→積分と進んでくると、積分法で面積や体積、グラフの線の長さと言った様々な値を求めるようになって来ます。

今回は「はさみうちの原理」を利用して「積分によって面積が求まる理由」を解説していきます。

積分と面積を極限が結ぶ

・はさみうちの原理の振り返り

・y=f(x)のグラフとその面積S(x)

・任意の点tとh離れた(h>0)点

・二点での長方形とS(x)[図解]

・はさみうちと微分の定義

・積分定数

・まとめ

 

はさみうちの原理

今回の内容を理解するのには、はさみうちの原理(極限分野)の理解が必要なので、曖昧な人は先に→「はさみうちの原理」と「追い出しの原理」の解説 を読んでおいて頂くとよいです。

簡単に振り返っておくと、関数/数列が3つあり、

$$f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \leq h\left( x\right)の関係である時に $$

$$\lim _{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim _{x\rightarrow \alpha }h\left( x\right) =\beta $$

$$f(x)とh(x)のxがx→αに近づく時に$$

$$f(α)とh(α)がβに成るのならば$$

$$\lim _{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) =\beta $$

$$その間に「はさまれている」g(x)も$$

$$又x→αでg(α)→βとなる。$$

というものです。

y=f(x)のグラフとその面積S(x)

ここからは図解入りで進めます。

今<図1>の様なy=f(x)のグラフがあり、その面積はS(x)で表せるとします

<図1>の様にx=αからx=tまでの面積をS(t)として、その右端のx=tからhだけx軸正方向に動かした面積の増加分

つまりf(x)とx軸の間でxの範囲(t+h)からtまでの面積を求めます。

積分ー面積2-1

 

<図1>

 

任意の点tとhだけ離れた点(t+h):(h>0)

ここで、<図1>中のx=tからx=t +hまでの面積を求めたい時、その面積はS(t+h)-S(t)で計算出来ます。<図2>ー<図3>

積分ー面積2-2

 

<図2>

積分ー面積2-3

<図3>

二点での長方形とS(t+h)-S(t)

そして、今度は<図4>の部分に注目します。

積分ー面積2-4

<図4>

$$丁度求めたい部分の面積は、$$

$$f\left( t\right) \cdot hの面積以上f\left( t+h\right) \cdot hの$$

$$面積以下である事が図からわかります。$$

$$ これと先ほどのS\left( t+h\right) -S\left( t\right) を考慮すると、$$

はさみうちの原理と微分の定義を使う

$$以下の不等式で求める面積を挟む事ができます。$$

$$f\left( t\right) \cdot h\leq S\left( t+h\right) -S\left( t\right) \leq f\left( t+h\right) \cdot h$$

$$ここで、h>0より不等式からhを割ると、$$

$$\frac {f\left( t\right) \cdot h}{h}\leq \frac {S\left( t+h\right) -S\left( t\right) }{h}\leq \frac {f\left( t+h\right) \cdot h}{h}$$

f(t)≦S(t+h)-S(t)/h≦f(t+h)

$$となり、limh→0の極限を取ると、微分の定義から$$

$$\lim _{h\rightarrow 0}\frac {f\left( t+h\right) -f\left( t\right) }{h}=f'\left( t\right) $$

中項は=S‘(t)

$$\lim _{h\rightarrow 0}f\left( t+h\right) =\lim _{h\rightarrow 0}f\left( t\right) =f\left( t\right) $$

左辺は、=f(t)

右辺は、=f(t) となるので、

$$よって、はさみうちの原理より、S'\left( t\right) =f\left( t\right) が示せます。$$

$$(面積の微分がグラフの式と一致しました!)$$

更に、両辺を積分してみます。

∮S’(t)dt=∮f(t)dt

$$⇔S\left( t\right) =F\left( t\right) +C (Cは積分定数)・・・*$$

$$ここでt=αを入れてみると、S(α)=F(α) +C$$

$$S(α)は、αからα迄の面積なので、値は当然ゼロになります。$$

$$これより、0=F(α) +C ⇔C=ーF(α)$$

$$Cも求まったので、βからα迄の面積をこれまでの様に$$

$$S(β)とすると、*の式より、$$

$$S\left( \beta \right) =F\left( \beta \right) -F\left( \alpha \right) $$

$$αからβの面積は、グラフの式f(x)の不定積分F(x)のxに$$

$$βを代入したものから、$$

$$αを代入したものを引いた値となり、$$

$$これまで使ってきた\int ^{\beta }_{\alpha }f\left( x\right) dxが$$

$$面積を表す事が示せました!$$

 

まとめ

この様に、「極限」を考える事で、微分と積分が結び付きました。(また、今回図形の面積をはさみうちの原理を使って評価しましたが、この方法も今後頻出するので、是非頭に入れておいて下さい。

 

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