剰余類とは?その意味と整数問題への使い方

剰余類が今回のテーマです

 

高校数学A「整数」分野で登場し、以前の記事で紹介した「整数攻略の3道具」の3番目である剰余類を詳しく見ていきます。

目次

・「剰余類」の意味と例

・実際に使ってみよう

・余りに関する証明問題

・分類をショートカットする為の小技

・剰余類と合同式

 

「剰余類」の意味と例

「剰余類という言葉は聞いたことがあるけど、よく意味は分かっていない」という人や、「意味は知っていても実際にどの様な時にどう使うのか知りたい!」といった人達に向けて今回は、初めから解説していきます。

剰余類とは

簡単に説明すると、ある数で整数を割った余りが同じグループのことで、「ある数を法とする剰余類」という風に言います。

(具体例)整数Nを5で割ったとします。

余りは1、2、3、4、0(割り切れる時)のいずれかなので、余りに注目して分けると、kを整数として

N=5k +1

N=5k +2

N=5k +3

N=5k +4

N=5k(+0)

にグループ分けできます。

それぞれNを5で割った余りが同じグループなので、「5を法とする剰余類」と言います。

また、この様なグループ分けを「剰余類に分ける」と表現します。

実際に使ってみよう

上の説明を実際にどの様に使うのか、簡単な問題を使って見ていきます。

(例題1)

整数nについて、n ^2を5で割った時の余りが全て

0、1、4のいずれかである事を証明せよ。

 

解答解説

nは無数にあるので、全てのn ^2を5で割って確認することはできません。この様な時に剰余類の考え方が役に立ちます。

先ほど上で解説した、5を法とする剰余類に分けると、全てのnは、k(整数)を使って

n=5k

n=5k +1、

n=5k +2、

n=5k +3、

n=5k +4 と表せます。

分類をショートカットする小技

これから、実際にn ^2に代入して確かめていくのですが、5つを代入するのは少し大変です。そこで、以下の様に書き換えます。

n=5k、n=5k±1、n=5k±2・・・(#1)

何故この様に纏められるのでしょうか?

n=9の時を考えてみましょう。

n=5・(1)+4  とも表せますが、

n=5・(2)-1でも同じくn=9を表せていますね!

つまり、

n=5k+4  はn=5k-1に

n=5k +3はn=5k-2 と置けるのです。

すると、代入する値は(#1)の3つに減るので計算が楽になります。今後頻繁に使うので、ぜひ覚えておいて下さい。

では問題に戻ります。

問は「n^2の余りが、0、1、4である事を示せ」

だったので、n ^2に(#1)をそれぞれ代入して

(a): (5k±1)^2=25k^2±10k +1

右辺を5でくくると、5(5k ^2±2k) +1

太字の部分は5でくくれる=5で割り切れるので、

余りは1になります。同様に、

(b):(5k±2)^2=25k^2±20k +4

5(5k ^2±4k) +4

よって余りは4です。

(c): (5k)^2=25k^2

5(5k ^2)

この場合は割り切れるので余りは0です

従って(a)〜(c)より全ての整数nについてn ^2を5で割った余りは0、1、4のいずれかになる。(了)

 

剰余類と合同式

上の問題で剰余類の考え方を使いましたが、他の問題でも使い道は沢山あります。その前に、「合同式」を紹介しておきます。

剰余類も合同式も「余りが共通のものを主役にする」という意味で同じで、扱いやすくする為に合同式を使う事が多いです。

そして、合同式は場合分けするには数が大きすぎたり、個数が多い時などに大いに活躍します。

詳しくは合同式を使っていますか?をご覧下さい。

 

次回は、剰余類を使った証明問題を更に紹介します。

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