ドップラー効果が起きる理由と公式の導出法

ドップラー効果を理解しよう

 

今回は波動分野の音波から、苦手な人が多い「ドップラー効果」を解説していきます。

音源/観測者がそれぞれ動く時振動数がどの様に変化するのか。

その仕組みの解説とドップラー効果の振動数の公式の導出、公式で間違いやすい±の符号についても説明します。

 

ドップラー効果の目次

振動数fと波長λの意味

波の公式v=fλ

・音源が動く場合

音源が近づく時/音源が遠ざかる時

・観測者が動く場合

観測者が近づく時/観測者が遠ざかるとき

まとめてドップラー効果の式を導く

まとめと次回予告

 

v=fλの式とf(振動数)やλ(波長)

基本的な用語の確認です

振動数:f(Hz)=(個/秒)

周期:T(秒/個)

波長:λ(m)

波の速さ:V (m/s)

これらの中のV とfとλの三つが

V=fλ の式を満たします。(超重要公式)

また、はじめのf(振動数)とT(周期)の間には、

f=1/T の式が成立します。(fとTの[単位]を見れば、逆数の関係である事がわかります)

 

音源が動く場合のドップラー効果

音源が近づく時

音源が速さvで観測者に近づく時、観測者が動かないとすると、音源が出す振動数は変化しませんが

音源が一秒移動する間に出すf個の波が

ドップラー効果音源が動く

<図1>

$$<図1>の様に(Vーv)mの距離の中に入っているので、$$

$$波長が、\lambda '=\frac {V-v}{f}と短くなります。$$

$$ここで、V=f\lambda の式に波長\lambda '=\frac {V-v}{f}の式を代入すると、$$

$$Vは一定なので、V=f'\cdot \frac {V-v}{f}$$

$$となって観測者が聞く音の振動数の式は$$

$$f'=f\times \frac {V}{V-v}$$

分母が小さくなっているので、観測者の聞く音の振動数は大きくなります

これは、サイレンの音がどんどん高くなる事と一致します。

音源が遠ざかる時

逆に音源が遠ざかる時には、観測者が動かないとすると、先程と同様に音源が出す振動数は変化しませんが、音源と観測者の距離が広がるので、

$$(V+v)の中にf個の波が入ることになり、$$

$$波長が、\lambda '=\frac {V+v}{f}と長くなります。$$

$$これをV=f\lambda に代入して$$

$$V=f'\times \frac {V+v}{f}$$

$$従って、観測する振動数f'=f\times \frac {V}{\left( V+v\right) }$$

分母が大きくなっているので観測者が聞く音の振動数は小さくなります。従って離れていくサイレンの音は低く聞こえます。

観測者が動く場合のドップラー効果

観測者が近づく時

音源が動かず、観測者が近づく時には音源が発する振動数は変化せず波長λも変化しません。

が、音源へ観測者が向かって行くので(相対速度)Vが大きくなり

観測者が一秒あたりに通過する波の個数は多くなります。

結果的に観測者が静止している時よりも多くの個数の波を聞き

観測者が聞く音の数(振動数)は大きくなって、観測者は高い音を聞くことになります。

これを式にすると、

$$まずV=f\lambda のVが相対速度が大きく$$

$$なる事によって、V'=V+vとなり$$

$$次に観測する振動数をfからf’と置いて、$$

$$最後のλは観測者にとっても変化しないので、$$

$$基本の式V=f\lambda から、\lambda =\frac {V}{f}$$

$$これらをまとめてみると$$

$$\left( V+v\right) =f'\times \left( \frac {v}{f}\right)$$

$$よって振動数f'=f\times \frac {V+v}{V}$$

分母が大きくなっているので、振動数は大きくなり、

観測者が近づく時音が高く聞こえることが式からも分かります

観測者が遠ざかるとき

又音源が動かず、観測者が遠ざかるときにも音源からの振動数と波長共に変化ありませんが

観測者が聞く音波の個数は静止している時に比べて少なくなるので、

結果的に振動数は小さくなった様に感じて、低い音を聞くことになります。

先程と同じ様に式変形するのですが、

$$変化する部分は、観測者が遠ざかるので、$$

$$相対速度がV\rightarrow V-vになる点だけです。$$

$$よって、観測者が遠ざかる時に$$

$$観測者が聞く振動数はf'=f\times \frac {V-v}{V}$$

分子が小さくなっているので振動数も小さくなり、結果として観測者は低い音を聞くことになります。

音源と観測者が共に動く時

これまでは音源か観測者のどちらかが動く場合を解説してきましたが、両方とも動く時も考える必要があります。(添え字のOはobserver:観測者の意)

$$V=f\lambda の式と・・・(※)$$

$$音源が動く時、\lambda \rightarrow \frac {\left( V\pm v\right) }{f}・・・(一)$$

$$観測者が動く時、V\rightarrow \left( V\pm v_{o}\right) ・・・(二)$$

$$この二式を合わせて、$$

$$\left( V\pm v_{o}\right) =f'\times \frac {\left( V\pm v\right) }{f}・・・(三)$$

$$式を整理してf'=f\times \frac {\left( V\pm v_{o}\right) }{\left( V\pm v\right) }$$

この式で音源、観測者が共に動く時の振動数f’を計算出来ます。

よくある悩み

分母分子のどちらが音源/観測者の速さか覚えられない。

Vにvやvoを+するのかーするのか分からなくなる。

これらの悩みは、この記事の最初からやった様に毎回意味を考えて導出すれば解決しますが、

テスト中などではその時間がないこともあるとおもいます。

<対策1>

テストなどの時間制限がある時以外に、何度も初めから式の導出を【手を動かして】しておく。

これは面倒ですが最終的に一番効果があります。

<対策2>

(あまりお勧めできませんが)分母→音源と覚える。一つ覚えておけば分子は観測者が動くときしかないので分母分子共に覚える必要はありません。

そして、プラスマイナスについては、振動数fが大きくなる→分母が小さくなる(ー)か分子が大きくなる(+)かなので、

例えば「音源が動いていて振動数が大きくなる」状況では、音源→分母、振動数大→(分母を小さくする→Vから引く)という風に考える。

 

出来れば<対策1>を繰り返して下さい。補助として<対策2>を使うのがベストです。

 

まとめと次回予告

今回導出したドップラー効果の式や考え方を利用して、次回は更に風が吹いている場合や、

反射板が動く時など、複雑な条件でも対応できる様にstep by stepで解説します。

 

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